Câu hỏi:

18/06/2025 9

Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh $AB = 2AD.$ Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]

a) Chứng minh rằng $DMBN$ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng $AN$ là tia phân giác của góc \[DAB.\]

c) Gọi giao điểm của $AN$ với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh $AB = 2AD.$ Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\] a) Chứng minh rằng $DMBN$ là hình bình hành. b) Chứng minh rằng $AN$ là tia phân giác của góc \[DAB.\] c) Gọi giao điểm của $AN$ với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông. (ảnh 1)$

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Lại có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\] nên $AM = BM = \frac{1}{2}AB$ và $DN = CN = \frac{1}{2}CD.$

Do đó $AM = BM = DN = CN$.

Tứ giác $DMBN$ có $BM\,{\rm{//}}\,DN$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD)$ và $BM = DN$ nên $DMBN$ là hình bình hành.

b) Xét tứ giác $AMND$ có $AM\,{\rm{//}}\,DN$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD)$ và $AM = DN$ nên $AMND$ là hình bình hành

Lại có $AB = 2AD$ nên $AD = \frac{1}{2}AB$. Suy ra $AM = AD$.

Hình bình hành $AMND$ có $AM = AD$ nên $AMND$ là hình thoi.

Suy ra đường chéo $AN$ là đường phân giác của $\widehat {DAM}$ hay $\widehat {DAB}.$

c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác $AMCN$ là hình bình hành.

Suy ra $AN\,{\rm{//}}\,CM$ hay $PN\,{\rm{//}}\,QM$.

Do $DMBN$ là hình bình hành nên $DM\,{\rm{//}}\,BN$ hay $PM\,{\rm{//}}\,QN$.

Tứ giác \[PMQN\] có $PN\,{\rm{//}}\,QM$và $PM\,{\rm{//}}\,QN$ nên \[PMQN\] là hình bình hành.

Lại có $AMND$ là hình thoi nên $AN \bot DM$ hay $\widehat {MPN} = 90^\circ $.

Do đó hình bình hành \[PMQN\] là hình chữ nhật.

Để \[PMQN\] là hình vuông thì $PM = PN\,\,\,\left( * \right)$

Mà $PM = \frac{1}{2}DM$ và $PN = \frac{1}{2}AN$ (do $AMND$ là hình thoi nên $P$ là trung điểm của hai đường chéo).

Do đó để $\left( * \right)$ xảy ra thì $DM = AN$ hay hình thoi $AMND$ là hình vuông, khi đó $\widehat {DAM} = 90^\circ $.

Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat {DAM} = 90^\circ $ thì sẽ trở thành hình chữ nhật.

Do đó, để \[PMQN\] là hình vuông thì $ABCD$ phải là hình chữ nhật.

Thật vậy, khi $ABCD$ là hình vuông thì hình chữ nhật \[PMQN\] có $PM = PN$ nên là hình vuông.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat C = 50^\circ ,\,\,\widehat D = 60^\circ ,\,\,\widehat A:\widehat B = 3:2.$ Tính $2\widehat A - \widehat B$ (đơn vị: độ).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp số: 19.

Ta có ${x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} - 2xy$

$ = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy$

$ = {5^2} - 2 \cdot 3 = 19$.

Vậy với $x - y = 5$ và $xy = 3$ thì giá trị của biểu thức ${x^2} + {y^2}$ bằng 19.

Câu 2

Điều kiện của số tự nhiên $n$ để phép chia $\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}$ là phép chia hết là

A. $n = 0$.

B. $n = 1$.

C. $n = 5$.

D. $n \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\]

\[ = 4{x^{10}}y:2{x^n}{y^n} - x{y^7}:2{x^n}{y^n} + {x^5}{y^4}:2{x^n}{y^n}\].

Để phép chia $\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}$ là phép chia hết thì $n \le 1$ và $n$ là số tự nhiên.

Do đó $n \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}$.

Câu 3

Kết quả của phép chia $\left( {5{x^5}{y^4}z + \frac{1}{2}{x^4}{y^2}{z^3} - 2x{y^3}{z^2}} \right):\frac{1}{4}x{y^2}z$ là đa thức bậc mấy?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[AB < BC.\] Từ trung điểm $M$ của cạnh $AB$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt cạnh $AC$ tại $N.$ Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = MN.$ Kẻ đường cao \[AH\left( {H \in BC} \right)\] của tam giác \[ABC\].

a) Tứ giác $BMND$là hình bình hành. b) Tam giác $AMH$ cân tại $A$.

c) $\widehat {AMN} = \frac{2}{3}\widehat {HMN}.$ d) Tứ giác $DHMN$ là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Kết quả của phép chia $5{x^2}{y^5}:10{x^2}{y^3}$ là

A. $\frac{1}{2}{y^2}$.

B. $\frac{1}{2}x{y^3}$.

C. $50{x^4}{y^8}$.

D. ${y^4}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Để chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình vuông, dấu hiệu nào sau đây là sai?

A. Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

B. Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có một góc vuông.

C. Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có hai đường chéo vuông góc.

D. Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \[10{x^2}\left( {2x - y} \right) + 6xy\left( {y - 2x} \right)\]. b) \[\frac{{{x^3}}}{8} - \frac{{{y^3}}}{{27}} + \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\]. c) ${x^3} + 27 + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 9} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat C = 50^\circ ,\,\,\widehat D = 60^\circ ,\,\,\widehat A:\widehat B = 3:2.\) Tính \(2\widehat A - \widehat B\) (đơn vị: độ).

Điều kiện của số tự nhiên \(n\) để phép chia \(\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\) là phép chia hết là

Kết quả của phép chia \(\left( {5{x^5}{y^4}z + \frac{1}{2}{x^4}{y^2}{z^3} - 2x{y^3}{z^2}} \right):\frac{1}{4}x{y^2}z\) là đa thức bậc mấy?

Kết quả của phép chia \(5{x^2}{y^5}:10{x^2}{y^3}\) là

Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình vuông, dấu hiệu nào sau đây là sai?

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \[10{x^2}\left( {2x - y} \right) + 6xy\left( {y - 2x} \right)\]. b) \[\frac{{{x^3}}}{8} - \frac{{{y^3}}}{{27}} + \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\]. c) \({x^3} + 27 + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 9} \right)\).