Cho đa thức \(A = 3{x^2}y - 2x{y^2} - 4xy + 1.\)

Đa thức \(B\) và \(M\) thỏa mãn \(B - A = - 2{x^3}y + 7{x^2}y + 3xy\,;\, & A + M = 3{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 8xy.\)

a) Với \[x = - 1\,;\,\,y = 1\] thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng 9.

b) Đa thức \(B\) sau khi thu gọn có 5 hạng tử.

c) Đa thức \(M\) có bậc là 2.

d) Tổng của hai đa thức \(B\) và \(M\) có hạng tử tự do là 1.

Đáp án:   a) Đúng.  b) Đúng.  c) Sai.      d) Sai.

⦁ Thay \[x = - 1\,;\,\,y = 1\] vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} \cdot 1 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot {1^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 1 = 3 + 2 + 4 = 9.\)

Vậy với \[x = - 1\,;\,\,y = 1\] thì \(A = 9\). Do đó ý a) đúng.

⦁ Ta có \(B - A = - 2{x^3}y + 7{x^2}y + 3xy.\)

Suy ra \(B = - 2{x^3}y + 7{x^2}y + 3xy + A\)

\( = - 2{x^3}y + 7{x^2}y + 3xy + \left( {3{x^2}y - 2x{y^2} - 4xy + 1} \right)\)

\( = - 2{x^3}y + 7{x^2}y + 3xy + 3{x^2}y - 2x{y^2} - 4xy + 1\)

\( = - 2{x^3}y + \left( {7{x^2}y + 3{x^2}y} \right) - 2x{y^2} + \left( {3xy - 4xy} \right) + 1\)

\( = - 2{x^3}y + 10{x^2}y - 2x{y^2} - xy + 1\).

Khi đó, đa thức \(B\) sau khi thu gọn có 5 hạng tử. Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có \(A + M = 3{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 8xy\).

Suy ra \(M = 3{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 8xy - A\)

\( = 3{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 8xy - \left( {3{x^2}y - 2x{y^2} - 4xy + 1} \right)\)

\( = 3{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 8xy - 3{x^2}y + 2x{y^2} + 4xy - 1\)

\( = 3{x^2}{y^2} - \left( {5{x^2}y + 3{x^2}y} \right) + 2x{y^2} + \left( {8xy + 4xy} \right) - 1\)

\( = 3{x^2}{y^2} - 8{x^2}y + 2x{y^2} + 12xy - 1\).

Khi đó, đa thức \(M\) có bậc là 4. Do đó ý c) sai.

⦁ Tổng của hai đa thức \(B\) và \(M\) là:

\[B + M = \left( { - 2{x^3}y + 10{x^2}y - 2x{y^2} - xy + 1} \right) + \left( {3{x^2}{y^2} - 8{x^2}y + 2x{y^2} + 12xy - 1} \right)\]

\[ = - 2{x^3}y + 10{x^2}y - 2x{y^2} - xy + 1 + 3{x^2}{y^2} - 8{x^2}y + 2x{y^2} + 12xy - 1\]

\[ = - 2{x^3}y + 3{x^2}{y^2} + \left( {10{x^2}y - 8{x^2}y} \right) + \left( {2x{y^2} - 2x{y^2}} \right) + \left( {12xy - xy} \right) + \left( {1 - 1} \right)\]

\[ = - 2{x^3}y + 3{x^2}{y^2} + 2{x^2}y + 11xy\].

Như vậy, tổng của hai đa thức \(B\) và \(M\) có hạng tử tự do là 0. Do đó ý d) sai.