Cho đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,{\rm{ }}AC\] lần lượt tại \[F\] và \[E.\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[BI.\] Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(AEIF\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(\widehat {AIF} = \widehat {KIC}\) và ba điểm \[F,{\rm{ }}E,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.

       3.1. Xét đường tròn \(\left( O \right),\) ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 60^\circ \) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).

Suy ra \[\widehat {ADC} = 180^\circ  - \widehat {ABC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABD} + \widehat {DBC}} \right) = 180^\circ  - \left( {60^\circ  + 40^\circ } \right) = 80^\circ .\]    

3.2.

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm \(A\) biến điểm \(B\) thành điểm \(C\) tạo nên cung lớn \(BC\) có số đo là:

$360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=360°-\widehat{BAC}=360°-60°=300°.$

Vậy góc quay của phép quay đó là \(300^\circ .\)

     2.1. a) Số học sinh nữ tham gia câu lạc bộ là: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 = 26\) (học sinh)

               Số học sinh nam tham gia câu lạc bộ là: \(5 + 3 + 4 + 2 + 3 + 1 + 2 + 4 = 24\) (học sinh)

               Số học sinh tham gia câu lạc bộ của lớp 9B là: \(26 + 24 = 50\) (học sinh)

     b) Từ bảng số liệu, số học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc là \(8\) học sinh.

         Xác suất để chọn được bạn tham gia câu lạc bộ Âm Nhạc là: \(\frac{8}{{50}} = \frac{2}{{25}}\).

     c) Từ bảng số liệu, số học sinh nữ tham gia câu lạc bộ Cờ Vua hoặc Văn học là: \(10\) bạn.

         Do đó, xác suất để chọn được một bạn nữ tham gia câu lạc bộ Cờ vua hoặc Văn học là: \(\frac{{10}}{{50}} = \frac{1}{5}.\)

     2.2. a) Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng”.

Ta thấy, các kết quả xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Kết quả xảy ra của phép thử là một bộ ba \[(a\] cm, \[b\] cm, \[c\] cm), trong đó \[a\] cm, \[b\] cm và \[c\] cm tương ứng là độ dài của ba đoạn thẳng được lấy ra. Do ba đoạn thẳng được lấy ra cùng một lúc nên \[a,{\rm{ }}b\] và \[c\] đôi một khác nhau.

Tập hợp các kết quả của phép thử là:

\[\Omega  = \left\{ {\left( {1{\rm{\;cm}},{\rm{ 3\;cm}},{\rm{ 5\;cm}}} \right);} \right.\]\[\left( {1{\rm{\;cm}},{\rm{ 3\;cm}},{\rm{ 7\;cm}}} \right);\]\[\left( {1{\rm{\;cm}},{\rm{ 3\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right);\]\[\left( {1{\rm{\;cm}},{\rm{ 5\;cm}},{\rm{ 7\;cm}}} \right);\] \[\left( {1{\rm{\;cm}},{\rm{ 5\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right);\] \[\left( {1{\rm{\;cm}},{\rm{ 7\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right);\] \[\left( {3{\rm{\;cm}},{\rm{ 5\;cm}},{\rm{ 7\;cm}}} \right);\] \[\left( {3{\rm{\;cm}},{\rm{ 5\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right);\] \[\left( {3{\rm{\;cm}},{\rm{ 7\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right);\] \[\left. {\left( {5{\rm{\;cm}},{\rm{ 7\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right)} \right\}.\]

Tập hợp \[\Omega \] có 10 phần tử.

     b) Ta có: \(7 < 3 + 5;\,\,9 < 3 + 7;\,\,9 < 5 + 7\) nên ba bộ ba các đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác là: \[\left( {3{\rm{\;cm}},{\rm{ 5\;cm}},{\rm{ 7\;cm}}} \right);\] \[\left( {3{\rm{\;cm}},{\rm{ 7\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right);\] \[\left( {5{\rm{\;cm}},{\rm{ 7\;cm}},{\rm{ 9\;cm}}} \right).\]

Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

Vậy xác suất của biến cố đó là: \(\frac{3}{{10}}.\)