(2,5 điểm)

1. Xác định \(a\) và \(b\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 3;\,\,2} \right)\) làm nghiệm.

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\) km hết \(4\) giờ \(30\) phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\) km. Tính vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn giải

1. Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 3;\,\,2} \right)\) làm nghiệm thì \(x = - 3\) và \(y = 2\) thỏa mãn hệ phương trình. Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot \left( { - 3} \right) + 2b \cdot 2 = - 18\\b \cdot \left( { - 3} \right) - 3a \cdot 2 = - 3\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 6a - 3b = - 3\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{4}{3},\) ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 8a - 4b = - 4\end{array} \right.\).

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\( - 11a = - 22\) suy ra \(a = 2\).

Thay \(a = 2\) vào phương trình \( - 3a + 4b = - 18\), ta được:

\( - 3 \cdot 2 + 4b = - 18\), suy ra \(4b = - 12\) nên \(b = - 3\).

Vậy \(a = 2\) và \(b = - 3\).

2. Gọi \(x,\,\,y\) (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước \(\left( {x > y > 0} \right).\)

Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: \(x + y\) (km/h).

Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: \(x - y\) (km/h).

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(40\) km là: \(\frac{{40}}{{x + y}}\) (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng \(40\) km là: \[\frac{{40}}{{x - y}}\] (giờ).

Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\) km hết \(4\) giờ \(30\) phút \(( = 4,5\) giờ) nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\). (1)

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(5\) km là: \(\frac{5}{{x + y}}\) (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng \(4\) km là: \[\frac{4}{{x - y}}\] (giờ).

Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\) km nên ta có phương trình: \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} - \frac{4}{{x - y}} = 0\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(2x = 36,\) suy ra \(x = 18\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 18\) vào phương trình \(x + y = 20\), ta được:

\(18 + y = 20\), suy ra \(y = 2\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.