(2,5 điểm)

1. Xác định \(a\) và \(b\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 3;\,\,2} \right)\) làm nghiệm.

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\) km hết \(4\) giờ \(30\) phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\) km. Tính vận tốc dòng nước.

1. Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

⦁ \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\), suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32{\rm{\;(cm);}}\)

⦁ \[BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) ta có:

⦁ \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\), suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72{\rm{\;(cm);}}\)

⦁ \(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Khi đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\)

1. a) \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\]

\(2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\)

\[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\]

\[\left( {3x - 1} \right) \cdot 2\left( {x + 1} \right) = 0\]

\(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{3};\) \(x = - 1\).

1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3\).

\(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 9}}\)

\(\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 3x + 3\)

\(2x + 6 - 3x + 9 = 3x + 3\)

\( - x + 15 = 3x + 3\)

\( - 4x = - 12\)

\(x = 3\) (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) \(5 - 7x > 4\left( {x - 3} \right) - 7\)

\(5 - 7x > 4x - 12 - 7\)

\( - 7x - 4x > - 12 - 7 - 5\)

\( - 11x > - 24\)

\(x < \frac{{24}}{{11}}.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{{24}}{{11}}.\)

2. b) \(\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \le \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}\)

\(\frac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{30}} - \frac{{2\left( {7x + 3} \right)}}{{30}} \le \frac{{10\left( {2x + 1} \right)}}{{30}} + \frac{{6\left( {3 - 2x} \right)}}{{30}}\)

\[15\left( {x - 1} \right) - 2\left( {7x + 3} \right) \le 10\left( {2x + 1} \right) + 6\left( {3 - 2x} \right)\]

\[15x - 15 - 14x - 6 \le 20x + 10 + 18 - 12x\]

\[x - 21 \le 8x + 28\]

\[ - 7x \le 49\]

\[x \ge - 7.\]

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \ge - 7.\]