Cho hai đa thức:

\[R = \left( {xy - 4{x^2} + 2} \right) \cdot x{y^2}\] và \[T = \left( {15{x^3}{y^4} - 20{x^4}{y^3} + 10{x^2}{y^3}} \right):5xy.\]

Đa thức \(S\) thỏa mãn \(R = T - S.\)

a) Hệ số tự do của đa thức \(R\) là 2.

b) Bậc của đa thức \(T\) là 3.

c) Giá trị của biểu thức \(T\) tại \[x = 1\,;\,\,y = - 1\] là \( - 5\).

d) \(S\) là một đơn thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.

⦁ Ta có \[R = \left( {xy - 4{x^2} + 2} \right) \cdot x{y^2}\]

\( = xy \cdot x{y^2} - 4{x^2} \cdot x{y^2} + 2 \cdot x{y^2}\)\( = {x^2}{y^3} - 4{x^3}{y^2} + 2x{y^2}\).

Khi đó, hệ số tự do của đa thức \[R\] có bậc là 2. Do đó ý a) sai.

⦁ Ta có \[T = \left( {15{x^3}{y^4} - 20{x^4}{y^3} + 10{x^2}{y^3}} \right):5xy.\]

\( = 15{x^3}{y^4}:\left( {5xy} \right) - 20{x^4}{y^3}:\left( {5xy} \right) + 10{x^2}{y^3}:\left( {5xy} \right)\)

\( = 3{x^2}{y^3} - 4{x^3}{y^2} + 2x{y^2}.\)

Khi đó, bậc của đa thức \(T\) là 5. Do đó ý b) sai.

⦁ Thay \[x = 1\,;\,\,y = - 1\] vào biểu thức \(T\), ta có:

\(T = 3 \cdot {1^2} \cdot {\left( { - 1} \right)^3} - 4 \cdot {1^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot 1 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = - 3 - 4 + 2 = - 5.\)

Vậy với \[x = 1\,;\,\,y = - 1\] thì \(T = - 5\). Do đó ý c) đúng.

⦁ Ta có \(R = T - S\)

Suy ra \(S = T - R\)

\( = \left( {3{x^2}{y^3} - 4{x^3}{y^2} + 2x{y^2}} \right) - \left( {{x^2}{y^3} - 4{x^3}{y^2} + 2x{y^2}} \right)\)

\( = 3{x^2}{y^3} - 4{x^3}{y^2} + 2x{y^2} - {x^2}{y^3} + 4{x^3}{y^2} - 2x{y^2}\)

\( = \left( {3{x^2}{y^3} - {x^2}{y^3}} \right) + \left( { - 4{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2x{y^2} - 2x{y^2}} \right)\)\( = 2{x^2}{y^3}.\)

Như vậy, \(S\) là một đơn thức. Do đó ý d) đúng.