Bạn An cần làm 2 bài tập liên tiếp trong một đề thi (cùng dạng bài). Xác suất làm đúng bài thứ nhất là \[0,7\]. Nếu làm đúng bài tập thứ nhất thì xác suất làm đúng bài tập thứ hai là \[0,8\]. Nếu bài thứ nhất làm sai thì sác suất làm đúng bài thứ 2 là \[0,2\].
Gọi \[{A_1}\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất”
Gọi \[{A_2}\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ hai”.
Khi đó:

\[P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0,8\].

Có: \[{A_1}\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất” \[ \Rightarrow P\left( {{A_1}} \right) = 0,7\]

Có: \[{A_1}{A_2}\] là biến cố “Bạn An làm đúng cả 2 bài tập”.

Khi đó: \[P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0,7.0,8 = 0,56\]

Suy ra Đúng

Theo giả thiết: Nếu bài thứ nhất làm sai thì sác suất làm đúng bài thứ 2 là \[0,2\].

\[ \Rightarrow P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 0,2 \Rightarrow P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) = 1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 1 - 0,2 = 0,8\]

Gọi \[A\] là biến cố “Bạn An làm đúng ít nhất một bài tập” \[ \Rightarrow \overline A \] là biến cố “Bạn An làm sai cả hai bài tập” \[ \Rightarrow \overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \]

Có: \[P\left( A \right) = P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) = 0,3.0,8 = 0,24\].

Vậy: \[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,24 = 0,76\]

Suy ra Sai.

Gọi \[D\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất biết rằng bạn An làm đúng bài thứ hai” \[ \Rightarrow D = {A_1}|{A_2}\]

Có: \[{A_2}\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ hai”. Khi đó, xảy ra 2 khả năng:

Khả năng 1: Bạn An làm đúng bài tập 1 và đúng bài tập 2

Khả năng 2: Bạn An làm sai bài tập 1 và làm đúng bài tập 2

Khi đó: \[{A_2} = {A_1}{A_2} \cup {A_2}\overline {{A_1}} \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}{A_2} \cup {A_2}\overline {{A_1}} } \right) = P\left( {{A_1}{A_2}} \right) + P\left( {{A_2}\overline {{A_1}} } \right)\] vì \[{A_1}{A_2}\] và \[{A_2}\overline {{A_1}} \] là các biến cố xung khắc.

Có: \[P\left( {{A_2}\overline {{A_1}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 0,3.0,2 = 0.06\]

và \[P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0,7.0,8 = 0,56\]

\[ \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = 0,56 + 0,06 = 0,62\]

Khi đó: \[P\left( D \right) = P\left( {{A_1}|{A_2}} \right) = \frac{{P\left( {{A_1}{A_2}} \right)}}{{P\left( {{A_2}} \right)}} = \frac{{0,56}}{{0,62}} = \frac{{28}}{{31}}\]

Suy ra Đúng.