Cho tứ giác \(ABCD,\) gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo.

          a) \(O\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD.\)

          b) \(OA + OB > AB.\)

          c) \(OC + OD = CD.\)

          d) \(AC + BD = AB + CD.\)

a) Đúng.

Vì \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

Vì \(DB = CD\) nên \(D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

Do đó, hai điểm \(A,\;D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Hay \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Do đó, \(AD \bot BC.\) Suy ra, tứ giác \(ABDC\) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Sai.

Tứ giác \(ABDC\) có: \[\widehat {CAB} + \widehat {DBA} + \widehat {ACD} + \widehat {CDB} = 360^\circ \]

Do đó: \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 360^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {BDC} = 360^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 240^\circ .\) Vậy \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 240^\circ .\)

c) Đúng.

\(\Delta DCA\) và \(\Delta DBA\) có: \(AC = AB,\;DC = DB,\;AD\) chung. Do đó, \(\Delta DCA = \Delta DBA\;\left( {c - c - c} \right).\)

d) Sai.

Vì \(\Delta DCA = \Delta DBA\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}.\)

Mà \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 240^\circ \) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ABD} = 240^\circ \) hay \(2\widehat {ABD} = 240^\circ .\) Suy ra \(\widehat {ABD} = 120^\circ .\)

Vậy \(\widehat {ABD} = 120^\circ .\)

Đáp án đúng là: D

Tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ .\]

Do đó, \[\widehat A + \widehat A + \widehat A + \widehat A = 360^\circ \], suy ra \(4\widehat A = 360^\circ \) nên \[\widehat A = 360^\circ :4 = 90^\circ .\] Vậy \[\widehat A = 90^\circ .\]