Cho tứ giác \(ABCD\) có chu vi bằng \(160\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Độ dài cạnh \(AB\) lớn hơn độ dài các cạnh \(BC,\;CD,\;DA\) lần lượt là \(6\;{\rm{cm,}}\;8\;{\rm{cm}},\;10\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Tính độ dài cạnh \(DA.\) (Đơn vị: \({\rm{cm}}\)).

a) Đúng.

Vì \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

Vì \(DB = CD\) nên \(D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

Do đó, hai điểm \(A,\;D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Hay \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Do đó, \(AD \bot BC.\) Suy ra, tứ giác \(ABDC\) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Sai.

Tứ giác \(ABDC\) có: \[\widehat {CAB} + \widehat {DBA} + \widehat {ACD} + \widehat {CDB} = 360^\circ \]

Do đó: \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 360^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {BDC} = 360^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 240^\circ .\) Vậy \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 240^\circ .\)

c) Đúng.

\(\Delta DCA\) và \(\Delta DBA\) có: \(AC = AB,\;DC = DB,\;AD\) chung. Do đó, \(\Delta DCA = \Delta DBA\;\left( {c - c - c} \right).\)

d) Sai.

Vì \(\Delta DCA = \Delta DBA\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}.\)

Mà \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 240^\circ \) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ABD} = 240^\circ \) hay \(2\widehat {ABD} = 240^\circ .\) Suy ra \(\widehat {ABD} = 120^\circ .\)

Vậy \(\widehat {ABD} = 120^\circ .\)

Đáp án đúng là: D

Tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ .\]

Do đó, \[\widehat A + \widehat A + \widehat A + \widehat A = 360^\circ \], suy ra \(4\widehat A = 360^\circ \) nên \[\widehat A = 360^\circ :4 = 90^\circ .\] Vậy \[\widehat A = 90^\circ .\]