Cho tam giác \(ABO\) vuông tại \(O.\) Trên tia đối của tia \(OB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(OB = OD.\) Lấy điểm \(C\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(O.\) Biết rằng chu vi tứ giác \(ABCD\) bằng \[40\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\]

          a) Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi.

          b) \(AB = 8\;{\rm{cm}}.\)

          c) \(\widehat {DAB} = 3\widehat {ACB}.\)

          d) Điều kiện để tam giác \(ABC\) đều là \(\widehat {DAB} = 120^\circ .\)

Đáp án: \(6\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC.\)

Tam giác \(ABM\) và tam giác \(DCM\) có: \(\widehat {ABM} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD,\;BM = MC.\)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AM = DM.\)

Suy ra, \(\Delta ADM\) cân tại \(M.\) Do đó, \(MN\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ADM.\)

Do đó, \(\widehat {ANM} = 90^\circ .\)

Tứ giác \(ANMB\) có: \(\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat {ANM} = 90^\circ \) nên tứ giác \(ANMB\) là hình chữ nhật \(\left( 1 \right).\)

Suy ra: \(\widehat {BMN} = 90^\circ \;\left( 2 \right).\)

Vì \(AM \bot MD\) nên \(\widehat {AMD} = 90^\circ .\)

Vì \(MN\) là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của \(\Delta ADM\) nên

\(\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \;\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right),\;\left( 3 \right)\) ta có: \(MA\) là tia phân giác của \(\widehat {BMN}\;\left( 4 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 4 \right)\) ta có: Tứ giác \(ANMB\) là hình vuông. Do đó, \(BN = AM = 6\;{\rm{cm}}.\)

Đáp án: \(30\)

Vì tam giác \(ABD\) cân tại \(A\) nên \(AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Suy ra: \(AM \bot BD\) tại \(M\) hay \(AC \bot BD\) tại \(M.\)

Vì \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M\) nên \(M\) là trung điểm của \(AC.\)

Tứ giác \(ABCD\) có: \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC,\;BD.\) \(M\) vừa là trung điểm của \(BD,\) vừa là trung điểm của \(AC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(M\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi. Do đó, \(AB = BC = CD = DA.\)

Vì rằng chu vi tam giác \(BCD\) bằng \(30\;{\rm{cm}}\) nên \(BC + BD + CD = 30,\) suy ra \(AB + BD + AD = 30.\)

Vậy chu vi tam giác \(BAD\) bằng \(30\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)