Cho hình chữ nhật \(ABCD.\) Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\;AD.\) Biết rằng \(AM \bot MD,\;AM = 6\;{\rm{cm}},\) khi đó độ dài đoạn thẳng \(BN\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm}}?\)

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) có: Hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(Q.\) Mà \(Q\) vừa là trung điểm của \(AC\) vừa là trung điểm của \(BD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(Q\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi.

b) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(BC = AB = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Vậy \(BC = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {BAD}.\) Do đó, \(\widehat {QAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ .\)

Tam giác \(QAD\) vuông tại \(Q\) nên \(\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = 90^\circ .\) Do đó, \(\widehat {QDA} = 90^\circ - \widehat {QAD} = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ .\)

Vậy \(\widehat {ADB} = 25^\circ .\)

d) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat {BCD}.\)

Để hình thoi \(ABCD\) là hình vuông thì \(\widehat {BCD} = 90^\circ .\) Khi đó, \(\widehat {ACD} = \frac{1}{2}\widehat {BCD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\)

Vậy để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(\widehat {ACD} = 45^\circ .\)

Đáp án đúng là: B

Hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = AD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thoi.

Do đó, \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}.\) Vậy \(\widehat {ABC} = 2\widehat {ABD}.\)