Cho hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\).

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = 1 + \frac{4}{{{x^2}}}\).

b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm trên các khoảng \(\left( { - 2;\,0} \right) \cup \left( {0;\,2} \right)\) và nhận giá trị dương trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\).

c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:

d) Đồ thị hàm số đã cho như hình

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\).

Đạo hàm \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 2\)

+) Xét đáp án A: Có \(y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+) Xét đáp án B: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\).

+) Xét đáp án C: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \)\( = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+) Xét đáp án D: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Chọn B.

Từ đồ thị hàm số đã cho ta có

Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng \(x = {x_0} < 0\).

Suy ra \( - d < 0 \Rightarrow d > 0\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Nên \(\frac{c}{d} < 0 \Rightarrow c < 0\).

Dựa vào hình dạng đồ thị dễ thấy hàm số đã cho có 2 cực trị và \(a < 0\).

Đồ thị hàm số có đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có dạng \(y = \frac{{2ax + b}}{d}\).

Mà đường thắng cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(\frac{b}{d} < 0 \Rightarrow b < 0\).

Vậy có 1 số dương trong các số \(a;b;c;d\).

Trả lời: 1.