Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(150{\rm{\;m}}\). Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(60\% \) so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình vẽ).

Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 15 lần kéo lên và lại rơi xuống.

a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\).

b) Sai. Ta có \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = - \cos 2x\).

Do đó \(y\left( { - x} \right) = - \cos \left( { - 2x} \right) = - \cos 2x = y\left( x \right)\). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Đúng. Ta có \(y = - \cos 2x\) nên hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \).

d) Sai. Đặt \(t = 2x\). Hàm số đã cho trở thành \(f\left( t \right) = - \cos t\).

Vì \(x \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right) = - \cos t\):

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\).

Ta có \[A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos \left( {1,5\pi } \right) - \cos \left( {\alpha + 2003\frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)\]

\[ = \cos \alpha - 2\sin \left( {\alpha - \pi } \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) \cdot \cot \alpha \]\[ = \cos \alpha + 2\sin \alpha - 0 - \sin \alpha - \sin \alpha \cdot \cot \alpha = \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha \].

Mà \(A = a\sin \alpha + b\cos \alpha \) nên \(a = 1,\,\,b = 0\). Từ đó ta có \(3a + b = 3\).

Đáp án: 3.