Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\end{array} \right.,\forall n \in \mathbb{N},n \ge 2\).

a) Dãy số có số hạng thứ 2 là \({u_2} = 8\).

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng.

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi \(n \ge 1\).

Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \ge 1\). Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

c) Ta có \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}}\). Suy ra \( - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3},\forall n \ge 1\).

d) Dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = - 11\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{9}{{{u_n}}}}}{{\frac{9}{{{u_{n - 1}}}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_{n - 1}},\forall n \ge 2\).

Do đó có \({u_1} = {u_3} = {u_5} = ... = {u_{2n + 1}} = ....\) và \({u_2} = {u_4} = {u_6} = .... = {u_{2n}} = ...\) (1).

Theo đề bài ta có \({u_1} = 3 \Rightarrow {u_2} = \frac{9}{{{u_1}}} = 3\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {u_4} = {u_5} = ... = {u_{2n}} = {u_{2n + 1}} = ...\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 1\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.