Cho tứ diện \[SABC\]. Gọi \[M,N,E\] lần lượt là trung điểm của \[AC\], \[BC\], \[SB\]. Gọi \[H,{\rm{ }}K\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[SAC\] và \[SBC\].

a) Chứng minh \[HK\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right).\]

b) Chứng minh \[HK\] song song với giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\).

a) Tam giác \[SAC\] có \[H\] là trọng tâm nên \[\frac{{SH}}{{SM}} = \frac{2}{3}\].

Tương tự, ta được \[\frac{{SK}}{{SN}} = \frac{2}{3}\].

Do đó \[\frac{{SH}}{{SM}} = \frac{{SK}}{{SN}} = \frac{2}{3}\] \( \Rightarrow HK\,{\rm{//}}\,MN\) (định lí Thalèsđảo)

Mà \[MN \subset \left( {SAB} \right)\] \( \Rightarrow HK\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\;\;\)\(\left( 1 \right)\)

b) Tam giác \[ABC\] có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[BC\].

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,AB.\)

Ta có \[E \in \left( {MNE} \right),E \in \left( {SAB} \right)\]

Mà \[MN\,{\rm{//}}\,AB\]; \[MN \subset \left( {MNE} \right)\] và \[AB \subset \left( {SAB} \right)\]

Suy ra giao tuyến của \[\left( {MNE} \right)\] và \[\left( {SAB} \right)\] là đường thẳng \(d\) đi qua \(E\) và \[d\,{\rm{//}}\,MN\,{\rm{//}}\,AB\]

Trong \[\left( {SAB} \right)\]: gọi \[F = d \cap SA\]

Ta có \[HK\,{\rm{//}}\,MN,MN \subset \left( {MNEF} \right)\]

\( \Rightarrow HK\,{\rm{//}}\,\left( {MNEF} \right)\;\;\;\left( 2 \right)\)

Mà \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = EF\] \[\left( 3 \right)\]

Từ (1), (2), (3), ta thu được \[HK\,{\rm{//}}\,EF.\]