Câu hỏi:

14/09/2025 30 Lưu

Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\)\(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Biết giá trị của \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{1 - a\sqrt 6 }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b.\)

A. \[4\].                             
B. \[10\].                           
C. \[7\].                                                                            
D. \[8\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{6}\).

Do đó \(a = 2;b = 6\). Suy ra \(a + b = 8\). Chọn D.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

\(\cos A = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin A = \frac{3}{5}\); \(\cos B = \frac{5}{{13}} \Rightarrow \sin B = \frac{{12}}{{13}}\)\(0 < A,B < \pi \).

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \)\( \Rightarrow \widehat C = \pi - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\).

Do đó \(A = 130\cos C - 1\)\( = 130\cos \left[ {\pi - \left( {A + B} \right)} \right] - 1\)\( = - 130\cos \left( {A + B} \right) - 1\)

\( = - 130\left[ {\cos A.\cos B - \sin A.\sin B} \right] - 1\)\( = - 130\left[ {\frac{4}{5}.\frac{5}{{13}} - \frac{3}{5}.\frac{{12}}{{13}}} \right] - 1 = 31\).

Trả lời: 31.

Lời giải

a) \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) suy ra \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) \( \Rightarrow \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = 2.\frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\).

b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\alpha + 2\pi - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{2}{3}\).

c) \(\sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha - \sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{3}\).

d) Có \(\sin \alpha = \frac{2}{3};\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) \( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\cot \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Do đó \(D = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha - \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2} - \frac{2}{{\sqrt 5 }}}} = 9\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

Câu 5

A. \[P = 1\].                       
B. \[P = 0\].                       
C. \[P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].                                                 
D. \[P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \[A = \tan 2x\].             
B. \[A = - \tan 2x\].         
C. \[A = - \cot 2x\].                                                                             
D. \[A = \cot 2x\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

A. \[T = \sqrt 3 \cos x\].   
B. \[T = \sin x\].               
C. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].                               
D. \[T = \sin 2x\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP