Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Biết giá trị của \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{1 - a\sqrt 6 }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b.\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(\cos A = \frac{4}{5}\) và \(\cos B = \frac{5}{{13}}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = 130\cos C - 1\).

Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\).

a) \(\sin 2\alpha = \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\).

b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \frac{2}{3}\).

c) \(\sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 + \sqrt 5 }}{3}\).

d) \(D = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha - \tan \alpha }} = \frac{1}{9}\).

Cho \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{9},\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\).

a) \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 + \sin 2\alpha }}{2}\).

b) \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).

c) \(\sin 4\alpha = \frac{{80}}{{81}}\).

d) Biết \(\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = a + b\sqrt c ,\left( {a,b,c \in \mathbb{Z},c \ge 0} \right)\). Khi đó \(a + b + c = 0\).

Tính giá trị của biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right)\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\) ta được \(A = \cos \frac{a}{b}\pi \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(\frac{a}{b}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).