Cho hai mệnh đề \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông” và \(Q\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Mệnh đề đảo của mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” là mệnh đề: “Nếu \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông”.

b) Hai mệnh đề \(P\) và \(Q\) không tương đương với nhau.

c) Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là mệnh đề sai.

d) \(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\).

Có $\widehat{CAH}={\alpha }_1=30°,\widehat{CBH}={\beta }_1=70°\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{CAH}=40°$.

Áp dụng định lí sin vào $∆ABC$, ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{CAH}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\frac{20\sin 30°}{\sin 40°}$.

Xét $∆HBC$ vuông tại H, ta có: $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow CH=BC\sin \widehat{CBH}=\frac{20\sin 30°}{\sin 40°}\cdot \sin 70°$.

Có $\widehat{OAH}={\alpha }_2=50°,\widehat{OBH}={\beta }_2=80°\Rightarrow \widehat{AOB}=30°$.

Áp dụng định lí sin vào $∆ABO$, ta có: $\frac{BO}{\sin \widehat{OAH}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\Rightarrow BO=\frac{20\sin 50°}{\sin 30°}$.

Xét $∆HBO$ vuông tại H, ta có: $\sin \widehat{OBH}=\frac{HO}{BO}\Rightarrow HO=BO\sin \widehat{OBH}=\frac{20\sin 50°}{\sin 30°}\cdot \sin 80°$.

Vậy $h=OC=HO-CH=\frac{20\sin 50°}{\sin 30°}\cdot \sin 80°-\frac{20\sin 30°}{\sin 40°}\cdot \sin 70°\approx \mathrm{15,56}$ (m).

Gọi số xe loại A cần thuê là \(x\,\,\left( {x \ge 0} \right)\).

Số xe loại B cần thuê là \(y\,\,\left( {y \ge 0} \right),x,y \in \mathbb{N}\).

Số người có thể chở tối đa là: \(20x + 10y\) (người).

Số tấn hàng có thể chở tối đa là: \(0,5x + 2y\) (tấn).

Theo đề bài, ta có:

- Cần chở ít nhất 100 người: \(20x + 10y \ge 100\).

- Cần chở ít nhất 6 tấn hàng: \(0,5x + 2y \ge 6\).

- Có 8 chiếc xe loại A và 6 chiếc xe loại B: \(x \le 8\), \(y \le 6\).

- Chi phí bỏ ra: \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20x + 10y \ge 100}\\{0,5x + 2y \ge 6}\\{0 \le x \le 8}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \ge 10}\\{x + 4y \ge 12}\\{0 \le x \le 8}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right.\] (I).

Bài toán trở thành tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) để \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác ABCD kể cả biên.

Toạ độ 4 đỉnh của miền nghiệm là: \(A\left( {4\,;\,2} \right)\), \(B\left( {8\,;\,1} \right)\), \(C\left( {8\,;\,6} \right)\), \(D\left( {2\,;\,6} \right)\).

Suy ra \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) đạt GTNN bằng 22 tại\(\left( {4;2} \right)\).

Vậy doanh nghiệp nên thuê 4 xe loại A và 2 xe loại B để chi phí thấp nhất, và chi phí thấp nhất là 22 triệu đồng.