Cho hai số \(a,\,\,b\) và \[a > 1 > b.\]

a) \(a - 1 > 0.\)                                                             b) \(a - b < 0.\)

c) \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) < 0.\)        d) \(a - 2b <  - 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án: \[ - {\bf{3}}\].

Ta có \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;-3\]

\[{x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;-3\]

\[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\]

\[3x < - 7\]

\[x < - \frac{7}{3}\]

Do đó, nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\]

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho là \(x = - 3.\)

Hướng dẫn giải

Điểm trung bình của 40 học sinh là: \(\frac{{300}}{4} = 7,5\) (điểm).

Giả sử có một học sinh có điểm lớn hơn 30. Gọi điểm của học sinh đó là \[{a_k} > 30.\]

Điểm của các học sinh còn lại là \[{a_1},\,\,{a_2},\,\, \ldots ,\,\,{a_{k - 1}},\,\,{a_{k + 1}}\,\,,\,\, \ldots ,\,\,{a_{40}}.\]

Tổng điểm của các học sinh còn lại là: \[S = 300 - {a_k}.\]

Vì \[{a_k} > 30\] thì \[S < 300 - 30 = 270.\]

Số lượng học sinh còn lại là 39 nên trung bình điểm của các học sinh còn lại là:

\[M = \frac{S}{{39}} < \frac{{270}}{{39}} \approx 6,92.\]

Theo giả thiết, không có học sinh nào có điểm dưới 10.

Do đó, tổng điểm tối thiểu của 39 học sinh còn lại là: \[S\, \ge 10 \cdot 39 = 390.\]

Mà \[S < 270\] dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.