Cho đa thức \[A = {x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3\] và \[B = - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1\].

a) Cho \[M = A + B.\] Tìm đa thức \[M\] và bậc của nó.

b) Tìm đa thức \[N\] sao cho \[N = B - A,\] từ đó tính giá trị của \[N\] biết \(x = 1;y = - 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức \[P\]

\[P = xy\left( {{x^2}y - 5x - {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - y} \right)\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right) + 5{x^2}y + 3{x^2}{y^2}\]

 \[ = {x^3}{y^2} - 5{x^2}y - x{y^3} - \left( {{x^3}{y^2} - 3{x^4}y + {x^2} - x{y^3} + 3{x^2}{y^2} - y} \right) + 5{x^2}y + 3{x^2}{y^2}\]

 \[ = {x^3}{y^2} - 5{x^2}y - x{y^3} - {x^3}{y^2} + 3{x^4}y - {x^2} + x{y^3} - 3{x^2}{y^2} + y + 5{x^2}y + 3{x^2}{y^2}\]

 \[ = \left( {{x^3}{y^2} - {x^3}{y^2}} \right) + \left( { - 5{x^2}y + 5{x^2}y} \right) + \left( { - x{y^3} + x{y^3}} \right) + \left( { - 3{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2}} \right) + 3{x^4}y - {x^2} + y\]

 \[ = 3{x^4}y - {x^2} + y\].

b) Với \[x = - 1;\,\,y = 1\] thay vào biểu thức \(P\) đã thu gọn, ta được:

\[P = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^4} \cdot 1 - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 3 - 1 + 1 = 3.\]

i) \[3{x^2} - x - 3{y^2} - y\]

\[ = \left( {3{x^2} - 3{y^2}} \right) - \left( {x + y} \right)\]

\[ = 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {x + y} \right)\]

\[ = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)\]

\[ = \left( {x + y} \right)\left[ {3\left( {x - y} \right) - 1} \right]\]