Cho đa thức \[A = {x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3\] và \[B = - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1\].

a) Cho \[M = A + B.\] Tìm đa thức \[M\] và bậc của nó.

b) Tìm đa thức \[N\] sao cho \[N = B - A,\] từ đó tính giá trị của \[N\] biết \(x = 1;y = - 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[M = A + B\]

Suy ra \[M = \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3} \right) + \left( { - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1} \right)\]

                 \[ = {x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3 - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1\]

                 \[ = \left( {{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2}y - {x^2}y} \right) + \left( {3xy + xy} \right) + \left( { - 3 + 1} \right)\]

                 \[ = - {x^3} - 4{x^2}y + 4xy - 2.\]

Đa thức \[M = - {x^3} - 4{x^2}y + 4xy - 2\] có bậc bằng 3 vì tổng các lũy thừa cao nhất của biến có trong các hạng tử của \[M\] bằng 3.

b) Ta có: \[N = B - A\]

Suy ra \[N = \left( { - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1} \right) - \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3} \right)\]

               \[ = - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1 - {x^3} + 3{x^2}y - 3xy + 3\]

               \[ = \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - {x^2}y + 3{x^2}y} \right) + \left( {xy - 3xy} \right) + \left( {1 + 3} \right)\]

               \[ = - 3{x^3} + 2{x^2}y - 2xy + 4\]

Với \(x = 1;y = - 1\) thì \[N = - 3 \cdot {1^3} + 2 \cdot {1^2} \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 4\]

\[ = - 3 - 2 + 2 + 4 = 1.\]