Cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y =  - 2x,\) \(\left( {{d_2}} \right):y = 1,5x + 7\) và \(\left( {{d_3}} \right):y =  - 2mx + 5.\)

     a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

     b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm.

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - 2x = 1,5x + 7\)

\( - 3,5x = 7\)

\(x =  - 2.\)

Thay \(x =  - 2\) vào hàm số \(y =  - 2x,\) ta được \(y =  - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( { - 2;4} \right).\)

b) Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) thì \( - 2m \ne  - 2,\) hay \(m \ne 1.\)

Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) thì \( - 2m \ne 1,5,\) hay \(m \ne  - \frac{3}{4}.\)

Khi đó, để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) cần đi qua giao điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

Do đó \(4 =  - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5\)

\(4m =  - 1\)

\(m =  - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m =- \frac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.