Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC.\) Gọi \(CH\;\,\left( {H \in AB} \right)\) là đường cao của tam giác \(ABC.\) Biết rằng diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) bằng \(60\,\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) và \(AC = 4\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

          a) Tam giác \(ABC\) và tam giác \(SAB\) là các tam giác đều.

          b) \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

          c) \(SH\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC.\)

          d) \(SH = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Sai.

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều và tam giác \(SAB\) là tam giác cân tại \(S.\)

b) Đúng.

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(CH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

Do đó, \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

c) Đúng.

Vì tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(SAB.\)

Vậy \(SH\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC.\)

d) Sai.

Vì \(SH\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC\) nên \(SH = \frac{{60 \cdot 2}}{{4 \cdot 3}} = 10\,\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(SH = 10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)