Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ polonium 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khối lượng còn lại của 20 gam polonium 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm) có dạng \( \approx a,{22.10^{ - b}}\) với \(a;b\) là các số tự nhiên. Tính \(S = b - 2a\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \(\left. \begin{array}{l}O \in \left( {OMN} \right)\\O = AC \cap BD\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {OMN} \right)\\O \in \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\).

b) Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SD\) nên \(MN//AD\).

Mà \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD//BC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AD\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow MN//BC\).

c) Vì \(M,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AC\) nên \(MO//SC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}OM//SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//\left( {SBC} \right)\).

d) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN//BC\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {SBC} \right)\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}MN//\left( {SBC} \right)\\OM//\left( {SBC} \right)\\MN \cap OM = M\\MN,OM \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\).

Do đó hai mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) không có đường thẳng giao tuyến.

Trả lời: 6,63

Trong mặt phẳng \(\left( {DMC} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(DP\).

Khi đó \(I \in MN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABN} \right)\).

Vậy \(I\) là giao điểm của \(DP\) và \(\left( {ABN} \right)\).

Tam giác \(DMC\) có \(MN\) và \(DP\) là hai đường trung tuyến nên giao điểm \(I\) là trọng tâm \(\Delta DMC.\)

Tam giác \(ABD\) đều cạnh bằng 12 và có \(DM\) là đường cao nên \(DM = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \).

Tương tự ta có \(CM = 6\sqrt 3 \).

Do đó tam giác \(DMC\) cân tại \(M\). Suy ra \(MN\) cũng là đường cao của tam giác \(DMC\) hay \(MN \bot CD\).

Ta có \(DM = 6\sqrt 3 ,DN = \frac{1}{2}DC = 6\) nên \(MN = \sqrt {D{M^2} - D{N^2}} = 6\sqrt 2 \).

Khi đó \(IN = \frac{1}{3}MN = 2\sqrt 2 .\)

Tam giác \(DNI\) vuông tại \(N\) nên \(DI = \sqrt {D{N^2} + I{N^2}} = 2\sqrt {11} \).

Vậy \(I\) cách điểm \(D\) một khoảng bằng \(2\sqrt {11} \approx 6,63\).