Trong một kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh dành cho học sinh trung học phổ thông của một khu vực (các học sinh của cả ba khối cùng tham gia giải một đề thi), ban tổ chức thống kê kết quả thi và thu được kết quả như sau:

- Trong 500 học sinh tham gia cuộc thi, có \(60{\rm{\% }}\) học sinh đạt huy chương, trong đó có 15 học sinh đạt huy chương vàng, 80 học sinh đạt huy chương bạc, còn lại là huy chương đồng.

- Trong số 300 học sinh lớp 12 có 6 học sinh đạt huy chương vàng, 24 học sinh đạt huy chương bạc. Số học sinh đạt huy chương đồng lớp 12 chiếm \(9{\rm{\% }}\) tổng số học sinh dự thi.

Chọn ngẫu nhiên một em học sinh. Nếu biết học sinh được chọn là học sinh lớp 12 đạt huy chương thì xác suất để học sinh được chọn đạt huy chương đồng là a%. Tìm a. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Gọi \(A\) là biến cố “Người đó là trẻ em”;

\(B\) là biến cố “Người đó thích bộ phim”;

\(C\) là biến cố “Người đó xem tiếp phần 2 bộ phim”.

Xét người đi xem là trẻ em có \(P\left( A \right) = 0,7\).

Suy ra \(P\left( {BC} \right) = 50\%  = 0,5\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 30\%  = 0,3\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 20\%  = 0,2\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

Xét người đi xem là người lớn có \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\).

\(P\left( {BC} \right) = 20\%  = 0,2\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 10\%  = 0,1\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 70\%  = 0,7\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

a) Sai. Ta có \(P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0,5 + 0,3 = 0,8\).

b) Đúng. Ta có \(\overline C  = \overline C AB \cup \overline C A\overline B  \cup \overline C \overline A B \cup \overline C \overline A \overline B \).

\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline C AB} \right) + P\left( {\overline C A\overline B } \right) + P\left( {\overline C \overline A B} \right) + P\left( {\overline C \overline A \overline B } \right)\)

\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,7 = 0,59\).

c) Đúng. \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 0,41\).

\(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}}\).

\(P\left( {AC} \right) = P\left( {AC\overline B } \right) + P\left( {ACB} \right) = 0,7 \cdot 0 + 0,7 \cdot 0,5 = 0,35\).

Suy ra \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,35}}{{0,41}} \approx 0,854 > 0,85\).

d) Đúng. \[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline C B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\].

\(P\left( {\overline C B} \right) = P\left( {\overline C BA} \right) + P\left( {\overline C B\overline A } \right) = 0,3 \cdot 0,7 + 0,1 \cdot 0,3 = 0,24\).

\(P\left( B \right) = P\left( {BA\overline C } \right) + P\left( {BAC} \right) + P\left( {B\overline A C} \right) + P\left( {B\overline A \overline C } \right)\)

\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,65\).

Suy ra \[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{0,24}}{{0,65}} \approx 0,37\].

a) Đúng. Do phân xưởng thứ nhất sản xuất \(60{\rm{\% }}\) tổng số sản phẩm của cả nhà máy nên xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là 0,6.

b) Đúng. Gọi A là biến cố “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ nhất”,

\(\overline A \) là biến cố “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ hai”.

B là biến cố “Chọn được sản phẩm là phế phẩm”.

Khi đó: \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 0,4\);

\(P\left( {B\mid A} \right) = 0,16;P\left( {\overline B \mid A} \right) = 0,84;P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,2\).

Áp dụng công thức tính xác suất tính xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right)\)

\( = 0,6.0,16 + 0,4.0,2 = 0,176\).

Vậy xác suất lấy được phế phẩm là 0,176.

c) Đúng. Chọn được phế phẩm, biến cố phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là \(A\mid B\), áp dụng công thức Bayes, ta được:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6.0,16}}{{0,176}} = \frac{6}{{11}} \approx 0,55\).

d) Sai. Khi lấy được sản phẩm tốt, để so sánh khả năng sản phẩm thuộc phân xưởng, ta tính xác suất để sản phẩm tốt được chọn ấy thuộc phân xưởng thứ nhất

Từ ý a) suy ra \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,176 = 0,824\).

Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A\mid \overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B \mid A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,6.0,84}}{{0,824}} \approx 0,61\).

Vậy khả năng sản phẩm tốt được chọn từ phân xưởng thứ nhất cao hơn.