Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):

        a) \(n + 5\) và \(n + 6\).                           b) \(5n + 3\) và \(3n + 2\).

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) học sinh \(\left( {a \in \mathbb{N},600 > a > 13} \right)\).

Khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì dư lần lượt 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh nên ta có \(a - 6\) chia hết cho 8, \(a - 10\) chia hết cho 10; \(a - 13\) chia hết cho 15.

Hay nhận thấy \(\left( {a + 2} \right) \vdots 8\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 10\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 15\).

Do đó, \(\left( {a + 2} \right)\) là BC\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)

Ta có: \(8 = {2^3};{\rm{ }}12 = {2^2} \cdot 3;{\rm{ 1}}5 = 3 \cdot 5\) suy ra BCNN\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)\( = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120\).

Do đó, \(a + 2 = 120 \cdot k\) (với \(k\) là số tự nhiên)

Nếu \(k = 0\) thì \(a = - 2\) (loại)

Nếu \(k = 1\) thì \(a = 118\) (loại) (vì 118 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 2\) thì \(a = 238\) (loại) (vì 238 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 3\) thì \(a = 358\) (loại) (vì 358 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 4\) thì \(a = 478\) (loại) (vì 478 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 5\) thì \(a = 598\) (thỏa mãn vì 598 chia hết cho 13).

Nếu \(k = 6\) thì \(a = 718\) (loại vì \(a < 600\)).

Vậy số học sinh của trường này là 598 học sinh.

Hướng dẫn giải

Vì robot được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi 2 bước nên mỗi lượt thực hiện một lập trình, robot đi được quãng đường là: \(6 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 20{\rm{\;dm}}{\rm{.}}\)

Như vậy, mỗi lần thực hiện một lập trình robot đi được quãng đường \(20{\rm{\;dm}}\) và bước tổng \(6 + 2 = 8\) bước.

Ta có: \(126:8 = 15\) dư 6.

Do đó để đến B thì robot đã thực hiện 15 lập trình và bước thêm 6 bước.

Khi đó, quãng đường robot đi được là: \(15 \cdot 20 + 6 \cdot 5 = 330{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ A đến B dài 330 dm.