Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):

        a) \(n + 5\) và \(n + 6\).                           b) \(5n + 3\) và \(3n + 2\).

Hướng dẫn giải

Vì robot được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi 2 bước nên mỗi lượt thực hiện một lập trình, robot đi được quãng đường là: \(6 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 20{\rm{\;dm}}{\rm{.}}\)

Như vậy, mỗi lần thực hiện một lập trình robot đi được quãng đường \(20{\rm{\;dm}}\) và bước tổng \(6 + 2 = 8\) bước.

Ta có: \(126:8 = 15\) dư 6.

Do đó để đến B thì robot đã thực hiện 15 lập trình và bước thêm 6 bước.

Khi đó, quãng đường robot đi được là: \(15 \cdot 20 + 6 \cdot 5 = 330{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ A đến B dài 330 dm.

Hướng dẫn giải

Ta có:

⦁ \[A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}\]

 \[ = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ... + \left( {{2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\]    (30 nhóm)

 \( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{117}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\)

 \( = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)

 \( = 15 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)

 \( = 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)

Kết quả trên chia hết cho 3 và 5 nên \(A\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,A\,\, \vdots \,\,5.\)

⦁ \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}} = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\)       (40 nhóm)

\( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{118}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\)

\( = 7 \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,7.\)

Do đó \(A\,\, \vdots \,\,7.\)