Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng $5a + 2b$ và $7a + 3b$ cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 6 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi ƯCLN$\left( {5a + 2b,\,\,7a + 3b} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $3\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {15a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $2\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {14a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15a + 6b} \right) - \left( {14a + 6b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $a\,\, \vdots \,\,d$ (1).

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $7\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 14b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $5\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 15b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {35a + 15b} \right) - \left( {35a + 14b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $b\,\, \vdots \,\,d$ (2).

⦁ Từ (1) và (2) suy ra $d = $ƯC$\left( {a,\,\,b} \right)$.

Mà $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN$\left( {a,\,\,b} \right) = 1.$ Do đó $d = 1.$

Vậy $5a + 2b$ và $7a + 3b$ là hai số nguyên số cùng nhau.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một trường học không có quá 600 học sinh. Biết rằng khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì lần lượt dư 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh còn nếu khi xếp thành 13 hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường này.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của trường đó là $a$ học sinh $\left( {a \in \mathbb{N},600 > a > 13} \right)$.

Khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì dư lần lượt 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh nên ta có $a - 6$ chia hết cho 8, $a - 10$ chia hết cho 10; $a - 13$ chia hết cho 15.

Hay nhận thấy $\left( {a + 2} \right) \vdots 8$; $\left( {a + 2} \right) \vdots 10$; $\left( {a + 2} \right) \vdots 15$.

Do đó, $\left( {a + 2} \right)$ là BC$\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)$

Ta có: $8 = {2^3};{\rm{ }}12 = {2^2} \cdot 3;{\rm{ 1}}5 = 3 \cdot 5$ suy ra BCNN$\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)$$ = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Do đó, $a + 2 = 120 \cdot k$ (với $k$ là số tự nhiên)

Nếu $k = 0$ thì $a = - 2$ (loại)

Nếu $k = 1$ thì $a = 118$ (loại) (vì 118 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 2$ thì $a = 238$ (loại) (vì 238 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 3$ thì $a = 358$ (loại) (vì 358 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 4$ thì $a = 478$ (loại) (vì 478 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 5$ thì $a = 598$ (thỏa mãn vì 598 chia hết cho 13).

Nếu $k = 6$ thì $a = 718$ (loại vì $a < 600$).

Vậy số học sinh của trường này là 598 học sinh.

Câu 2

Một con robot xuất phát từ A đi thẳng đến B. Nó được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi lại 2 bước và để đến được B thì con robot đã thực hiện tổng cộng 126 bước. Hỏi khoảng cách từ A đến B dài bao nhiêu mét, biết mỗi bước đi của robot dài $5{\rm{\;dm}}.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Vì robot được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi 2 bước nên mỗi lượt thực hiện một lập trình, robot đi được quãng đường là: $6 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 20{\rm{\;dm}}{\rm{.}}$

Như vậy, mỗi lần thực hiện một lập trình robot đi được quãng đường $20{\rm{\;dm}}$ và bước tổng $6 + 2 = 8$ bước.

Ta có: $126:8 = 15$ dư 6.

Do đó để đến B thì robot đã thực hiện 15 lập trình và bước thêm 6 bước.

Khi đó, quãng đường robot đi được là: $15 \cdot 20 + 6 \cdot 5 = 330{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách từ A đến B dài 330 dm.

Câu 3