Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

 Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}}\] có tọa độ \(\left( {a;b} \right)\). Tìm \(a + b\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = - \infty \). Suy ra \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \(y = x + 2 + \frac{7}{{x - 2}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{7}{{x - 2}} = 0\). Do đó \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đường thẳng \({d_2}:y = x + 2\) cắt trục \(Oy\) tại \(A\left( {0;2} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt \({d_2}:y = x + 2\) tại \(B\left( {2;4} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt trục \(Ox\) tại \(C\left( {2;0} \right)\).

Do đó hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình thang vuông \(OABC\).

Khi đó \({S_{OABC}} = \frac{{\left( {OA + BC} \right).OC}}{2} = 6\).

Trả lời: 6.

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3\) nên đường thẳng \(y = 3\) là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tất cả 3 đường tiệm cận. Chọn B.