Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;0;1} \right)\), \(C\left( {2;1;1} \right)\). Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng:

Gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 2\left( { - 2 - x} \right)\\y - 2 = 2\left( { - 1 - y} \right)\\z - 1 = 2\left( {4 - z} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(M\left( {0;0;3} \right)\) nên \(a + b + c = 3\).

Trả lời: 3.

a) \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 4;3; - 1} \right)\).

b) \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {1;2; - 3} \right)\). Giả sử \(A\left( {x;y;z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \) nên $\left\{\begin{array}{l}-4-x=1\\ 3-y=2\\ -1-z=-3\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=1\\ z=2\end{array}\right.\Rightarrow A\left(-5;1;2\right)$

c) Ta có \(G\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\). Tọa độ hình chiếu của \(G\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};0} \right)\).

d) Vì I là trung điểm của MN nên \(I\left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2};\frac{{3 - 1}}{2};\frac{{ - 1 - 3}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 2} \right)\).

Theo giả thiết \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} = 3\left( {1;0;0} \right) + 2\left( {2; - 1; - 3} \right) - \frac{1}{2}\left( { - 1;1; - 2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow w = \left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{5}{2}; - 5} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.