Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {4;\,\,2;\,\,1} \right)\), \(B\left( { - 2;\, - 1;\,4} \right)\). Tìm được tọa độ điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \). Khi đó \(a + b + c = ?\)

a) \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 4;3; - 1} \right)\).

b) \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {1;2; - 3} \right)\). Giả sử \(A\left( {x;y;z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \) nên $\left\{\begin{array}{l}-4-x=1\\ 3-y=2\\ -1-z=-3\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=1\\ z=2\end{array}\right.\Rightarrow A\left(-5;1;2\right)$

c) Ta có \(G\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\). Tọa độ hình chiếu của \(G\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};0} \right)\).

d) Vì I là trung điểm của MN nên \(I\left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2};\frac{{3 - 1}}{2};\frac{{ - 1 - 3}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 2} \right)\).

Theo giả thiết \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} = 3\left( {1;0;0} \right) + 2\left( {2; - 1; - 3} \right) - \frac{1}{2}\left( { - 1;1; - 2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow w = \left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{5}{2}; - 5} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = 3\) và \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{m^2} + {2^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} = \sqrt {2{m^2} + 2m + 5} \)

Do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow 9 = 2{m^2} + 2m + 5\)\( \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\) .

Vậy có hai giá trị của \(m\).

Trả lời: 2.