Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} - 15x + 20\].

a) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(20\).

b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\, - 1} \right) \cap \left( {5\,;\, + \infty } \right)\).

c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có toạ độ \(I\left( {2\,;\, - 26} \right)\).

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - 4\,;\, + \infty } \right)\) bằng \( - 80\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right),B\left( {0;3} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {2; - 1} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = - 1\\d = 3\\a + b + c + d = 1\\8a + 4b + 2c + d = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 3\end{array} \right.\). Do đó \(S = {t^3} - 3{t^2} + 3\).

Khi đó \(v = S' = 3{t^2} - 6t\); \(a = S'' = 6t - 6 = 12 \Rightarrow t = 3\).

Khi đó vận tốc của chuyển động là \(S'\left( 3 \right) = 27 - 18 = 9\) m/s.

Trả lời: 9.

a) Ta có \(y = - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 14}}{{x - 3}}} \right) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - 14}}{{x - 3}}} \right) = 0\).

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = - x - 6\).

b) Phương trình đường tiệm cận đứng là \(x = 3\).

Suy ra giao điểm 2 tiệm cận là \(I\left( {3, - 9} \right)\) là tâm đối xứng.

c) \(y' = \frac{{ - {x^2} + 6x + 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\) \(\left( * \right)\)

Phương trình \(\left( * \right)\) luôn có 2 nghiệm \({x_1} < 0 < {x_2}\) nên \(\left( C \right)\) luôn có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đối với \(Oy\).

d) \(y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 3x + 4 = 0\) và phương trình luôn có 2 nghiệm suy ra \(\left( C \right)\)cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Đúng;   c) Sai.