Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm là \[A\left( {1;3; - 1} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)\]. Tọa độ của \[\overrightarrow {OB} \] là

a) Gọi tọa độ điểm \(A'\) là (x;y;z) \[ \Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = \left( { - 1 - x;2 - y;1 - z} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2;0} \right)\]. Vì \(ACC'A'\)  là hình bình hành nên \[\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \]

Suy ra\[\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = - 2\\2 - y = 2\\1 - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\]. Làm tương tự ta có: \[B'\left( {0\,;\,4\,;\,2} \right)\].

b) Gọi $B\left(x;y;z\right)$. Có $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-x=-1\\ 4-y=-1\\ 2-z=1\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\\ z=1\end{array}\right.$ Suy ra \[B\left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)\].

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Có $\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-x=-1\\ -2-y=-1\\ -z=1\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ z=-1\end{array}\right.$.Suy ra \[D\left( {1\,;\, - 1\,; - \,1} \right)\].

c) \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k \].

d) \[\overrightarrow {B'D} = \left( {1; - 5; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {B'D} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

Ta có \[\overrightarrow {O'C'} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,2\,;\,2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - {x_{O'}} = - 2\\{y_{C'}} - {y_{O'}} = 2\\{z_{C'}} - {z_{O'}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 4\\{y_{O'}} = - 5\\{z_{O'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {4\,;\, - 5\,;\,3} \right)\].

Suy ra \(a = 4;b = - 5;c = 3\). Vậy \(a + b + c = 2\).

Trả lời: 2.