Chứng minh rằng nếu \[{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\] và \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số dương thì \[a = b = c = d.\]

Vì \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\)

\( \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd = 0\). (*)

Ta có \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd\)

\( = \left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + \left( {{c^4} - 2{c^2}{d^2} + {d^4}} \right) + \left( {2{a^2}{b^2} - 4abcd + 2{c^2}{d^{^2}}} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - 2{a^2}{b^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {{c^2}} \right)}^2} - 2{c^2}{d^2} + {{\left( {{d^2}} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} - 2ab.cd + {{\left( {cd} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2}\).

Từ (*) suy ra \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2} = 0\). (**)

Mà \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,2{\left( {ab - cd} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,\,b,\,c,\,d\).

Do đó (**) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\{c^2} - {d^2} = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a =  \pm b\\c =  \pm d\\ab = cd\end{array} \right.\).

Mà \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số dương nên \(a = b = c = d\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.