Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Tại sao giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\]?
c) Giải thích tại sao \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Tại sao giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\]?
c) Giải thích tại sao \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) • Tứ giác \[AHBD\] có \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[HD\] nên là hình bình hành.
Do \[AH\] là đường cao của \[\Delta ABC\] nên \[AH \bot BC\], suy ra \[\widehat {AHB} = 90^\circ \].
Hình bình hành \[AHBD\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \] nên \[AHBD\] là hình chữ nhật.
• Tương tự, tứ giác \[AHCE\] có \[N\] là trung điểm của \[AC\] và \[HE\] nên là hình bình hành.
Lại có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \] nên \[AHCE\] là hình chữ nhật.
• Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (chứng minh trên)
Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \].
Tứ giác \[BCED\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] là các góc ở đỉnh nên \[BCED\] là hình chữ nhật.
b) Vì \[ADBH,{\rm{ }}AECH\] là các hình chữ nhật nên \[AD = BH,{\rm{ }}AE = HC,{\rm{ }}AD{\rm{ // }}BC,{\rm{ }}AE{\rm{ // }}BC\].
Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \[H\] là trung điểm của \[BC\], suy ra \[BH = HC\].
Từ đó, \[AD = BH = HC = AE\].
Tứ giác \[ADHC\] có: \[AD{\rm{ // }}HC,{\rm{ }}AD = HC\] nên \[ADHC\] là hình bình hành.
Tứ giác \[ABHE\] có: \[AE{\rm{ // }}BH,{\rm{ }}AE = BH\] nên \[ABHE\] là hình bình hành.
Vì \[ADHC\] là hình bình hành nên \[CD\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vì \[AEHB\] là hình bình hành nên \[BE\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vậy giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
c) Do \[BCED\] là hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên \[CD = BE\] (hai đường chéo bằng nhau).
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật nên \[AB = DH,{\rm{ }}AC = HE\] (hai đường chéo bằng nhau).
Mà \[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) nên \[DH = HE\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Hai cạnh kề nhau: \(AB\), \[BC\];
B. Hai cạnh đối nhau: \[BC\], \[DA\];
C. Hai góc đối nhau: \[\widehat A\] và \[\widehat B\]; \[\widehat C\] và \[\widehat D\];
D. Các điểm nằm ngoài: \[H\], \[E\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat A\) và \(\widehat C\), \(\widehat B\) và \(\widehat D\); còn \(\widehat A\) và \(\widehat B\), \(\widehat C\) và \(\widehat D\) là hai cặp góc kề nhau nên C sai.
Lời giải
Ta có: \(A = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3.\)
Suy ra \( - A = {x^2} - 2xy + 4{y^2} - 2x - 10y + 3\)
\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 4{y^2} - 10y + 3 - {\left( {y + 1} \right)^2}\)
\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 3{y^2} - 12y + 2\)
\[ = {\left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right]^2} + 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 10\]
\[ = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 3{\left( {y - 2} \right)^2} - 10\]
Do đó \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10\]
Nhận xét: \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\, - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x,y\)
Suy ra \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\ - 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\], tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right.\], hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 10 khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\).
Câu 3
A. bình phương của một tổng;
B. bình phương của một hiệu;
C. tổng hai bình phương;
D. hiệu hai bình phương.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(S = 8\);
B. \(S = - 8\);
C. \(S = - \,4\);
D. \(S = 4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{1}{x} + y\);
B. \( - \frac{{{x^2}z}}{5}\);
C. \(\left( {2 - x} \right){y^2}\);
D. \(\sqrt {xyz} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo