(1 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) có \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]. Chứng minh rằng hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
(1 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) có \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]. Chứng minh rằng hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]
\( \Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} - B{C^2} - A{D^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {A{B^2} - B{C^2}} \right) + \left( {C{D^2} - A{D^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {CD} }^2} - {{\overrightarrow {DA} }^2}} \right) = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {CA} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)} \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {BD} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow AC \bot BD\).
Vậy hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\)
Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên \(x \le 45,\,\,y \le 80\).
Sản xuất \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là \(12x + 9y\).
Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên \(12x + 9y \le 900\) hay tương đương với \(4x + 3y \le 300\).
Tiền lãi thu được khi bán \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai là \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) (đồng).
Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\)để \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) lớn nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) lên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) là miền ngũ giác \(OABCD\) (kể cả biên) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\,80} \right),\,\,B\left( {15;\,\,80} \right),\,\,C\left( {45;\,\,40} \right),\,\,D\left( {45;\,\,0} \right)\).
Người ta chứng minh được \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác \(OABCD\).
Ta có: \(T\left( {0;\,\,0} \right) = 0\);
\(T\left( {0;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 0 + 180\,\,000 \cdot 80 = 14\,\,400\,\,000\);
\(T\left( {15;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 15 + 180\,\,000 \cdot 80 = 18\,\,150\,\,000\);
\(T\left( {45;\,\,40} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 40 = 18\,\,450\,\,000\);
\(T\left( {45;\,\,0} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 0 = 11\,\,250\,\,000\).
Do đó, \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {45;\,\,40} \right)\).
Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.
Câu 2
A. \(\alpha \) và \(\beta \) bù nhau;
B. \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau;
C. \(\alpha \) và \(\beta \) bằng nhau;
D. \(\alpha \) và \(\beta \) không có mối liên hệ.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\tan \alpha = \cot \beta \) khi \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau.
Câu 3
A. 0;
B. 1;
C. \[\sqrt 3 \];
D. – 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\);
B. \({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
C. \({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\);
D. \({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
B. \(\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \);
C. \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \);
D. \(\overrightarrow {AM} = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(45^\circ \);
B. \[135^\circ \];
C. \(50^\circ \);
D. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(5x + 3y > 1\);
B. \(4x - 7y < 10\);
C. \(7x + y \ge 2\);
D. \(x - 9y \le 7\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo