Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) \(M = \left( {2x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {2x + \frac{1}{2}y} \right)\) tại \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) và \(y = 4\).

b) \(N = \left( {2x - {y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 2x{y^2} + {y^4}} \right)\) tại \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = 2\).

a) \(M = \left( {2x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {2x + \frac{1}{2}y} \right)\)

\( = 2x\,.\,2x + 2x\,.\,\frac{1}{2}y + \left( {\frac{{ - 1}}{2}y} \right)\,.\,2x + \left( {\frac{{ - 1}}{2}y} \right)\, \cdot \,\frac{1}{2}y\)

\( = 4{x^2} + xy - xy - \frac{1}{4}{y^2} = 4{x^2} - \frac{1}{4}{y^2}\).

Thay \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) và \(y = 4\) vào \(4{x^2} - \frac{1}{4}{y^2}\), ta được:

\[4 \cdot {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \cdot {4^2} = 1 - 4 =  - 3\].

b) Ta có \(N = \left( {2x - {y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 2x{y^2} + {y^4}} \right)\)

\( = 2x\,.\,4{x^2} + 2x\,.\,2x{y^2} + 2x\,.\,{y^4} + \left( { - {y^2}} \right)\,.\,4{x^2} + \left( { - {y^2}} \right)\,.\,2x{y^2} + \left( { - {y^2}} \right)\,.\,{y^4}\)

\( = 8{x^3} + 4{x^2}{y^2} + 2x{y^4} - 4{x^2}{y^2} - 2x{y^4} - {y^6} = 8{x^3} - {y^6}\).

Thay \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = 2\) vào \(8{x^3} - {y^6}\), ta được:

\(8{x^3} - {y^6} = 8 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - {\left( 2 \right)^6} = 1 - 64 =  - 63\).