Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \[x\left( {x - 3} \right) + 4x - 12\];                    b) \[{x^2} - 2x + 1 - {y^2}\];             

c) \[2x - 4 + 5{x^2} - 10x\];                                 d) \[x\left( {x + 1} \right)\, + \,x\left( {x - 5} \right)\, - \,5\left( {x + 1} \right)\].

a) Với \(x \ne  - 1\), ta có:

\(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

\( = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).

b) Với \(x = 1\) (TMĐK), thay vào biểu thức \(P\), ta được:

\(\frac{{1 + 1}}{{{1^2} + 1}} = \frac{2}{2} = 1\).

Vậy tại \(x = 1\) thì giá trị của biểu thức \(P\) bằng 1.

Đáp án đúng là: D

Nhận xét: \[\left( {{x^2} - 4y} \right)\left( {{x^4} + 4{x^2}y + 16{y^2}} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} - 4y} \right)\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + {x^2}\,.\,4y + {{\left( {4y} \right)}^2}} \right]\]

\[ = {\left( {{x^2}} \right)^3} - {\left( {4y} \right)^3} = {x^6} - 64{y^3}\].

Do đó \(m + n = 6 + 3 = 9\).