(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\), \(E\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(D\).

a) Các tứ giác \(AEMC\) là hình gì? Vì sao?

b) Tam giác vuông \(ABC\) cần thêm điều kiện gì thì tứ giác \(AEBM\) là hình vuông?

a) Theo đề bài, \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\) (vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\)).

Do đó, \(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(DM\,{\rm{//}}\,AC\) và \(DM\,{\rm{ = }}\frac{1}{2}AC\).

Do \(E\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(D\) nên \(D\) là trung điểm của \(EM.\)

Ta có \(DM\,{\rm{ = }}\frac{1}{2}EM;\)\(DM\,{\rm{ = }}\frac{1}{2}AC\) nên \(EM = AC\).

Tứ giác \(AEMC\) có \(EM\,{\rm{//}}\,AC\) (vì \(DM\,{\rm{//}}\,AC\)) và \(EM = AC\).

Do đó, tứ giác \(AEMC\) là hình bình hành.

b) Vì \(DM\,{\rm{//}}\,AC\) và \(AB \bot AC\) (vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)) nên \(DM \bot AB\).

Ta có \(D\) là trung điểm của \(AB\) và cũng là trung điểm của \(EM\) nên hai đường chéo \(AB\) và \(EM\) cắt nhau tại trung điểm \(D\) của mỗi đường.

Suy ra, tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(AEBM\) có hai đường chéo \(DM\) và \(AB\) vuông góc với nhau.

Do đó, tứ giác \(AEBM\) là hình thoi.

Để hình thoi \(AEBM\) là hình vuông thì cần điều kiện \(AB = EM\).

Vì tứ giác \(AEMC\) là hình bình hành nên \(EM = AC\).

Do đó, nếu \(AB = EM\) suy ra \(AB = AC\), khi đó tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Vậy để tứ giác \(AEBM\) là hình vuông thì tam giác vuông \(ABC\) cần thêm điều kiện \(AB = AC\) hay tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).