(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca = 1.\) Chứng minh rằng biểu thức \(M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\) là bình phương của một số hữu tỉ.

(1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(25{x^2}\left( {x - 3y} \right) - 15\left( {3y - x} \right);\)                                                  b) \({x^4} - 5{x^2} + 4.\)

PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)

(1,0 điểm) Cho hai đa thức:

\(A = 2xy\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right)\) và \[B = \left( {12{x^4}{y^5} - 36{x^5}{y^4} + 6{x^3}{y^3}} \right):6{x^2}{y^2}.\]

a) Tìm đa thức \(M\) biết \(A = M + B.\)

b) Tính giá trị của đa thức \(M\) khi \(x =  - \frac{1}{4};\) \(y = 3.\)

(3,0 điểm) Cho \[\Delta ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right).\] Các đường cao \[BF\]và \[CE\] cắt nhau tại \[H.\] Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC.\] Trên tia đối của tia \[MH\] lấy điểm \[K\] sao cho \[MH = MK.\]

a) Giải thích tại sao tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành, từ đó suy ra \(BK \bot AB.\)

b) Kẻ \(HG \bot BC\) tại \[G.\] Trên tia đối của tia \[GH\] lấy điểm \[I\] sao cho \[G\] là trung điểm của \[HI.\] Chứng minh tứ giác \(BIKC\) là hình thang cân.

c) Kẻ \(CQ \bot BK\) tại \[Q.\] Chứng minh \[\Delta EFQ\] là tam giác vuông.

(1,0 điểm) Tìm \(x,\) biết:

a) \[\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {x^3} + 2x = 0;\]

b) \[\left( {5 - 3x} \right)\left( {2{x^2} + 3x + 3} \right) + 5{x^2}\left( {3x - 5} \right) =  - 15{x^2} + 9{x^3}.\]