(1,5 điểm) Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right).\)

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)

b) Rút gọn biểu thức \(A.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \({x^2} - x - 2 = 0.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(9 - {x^2} = \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right).\)

\[2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} = \frac{{2\left( {3 + x} \right) - \left( {x + 5} \right)}}{{3 + x}} = \frac{{6 + 2x - x - 5}}{{3 + x}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}.\]

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\9 - {x^2} \ne 0\\2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 3\\x \ne 3\\x \ne  - 1\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne  - 3,x \ne 3\) và \(x \ne  - 1.\)

b) Với \(x \ne  - 3,x \ne 3\) và \(x \ne  - 1\) ta có:

\(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x - 2x - 6 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)

\[ = \frac{{ - 5x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\]

\[ = \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\]

Vậy với \(x \ne  - 3,x \ne 3\) và \(x \ne  - 1\) thì \(A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\)

c) Với \({x^2} - x - 2 = 0\) ta có \({x^2} - 2x + x - 2 = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 1\) (không thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x = 2\) vào biểu thức \(A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}\) ta được:

\(A = \frac{{ - 5}}{{2 - 3}} = \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = 5.\)

Vậy nếu \({x^2} - x - 2 = 0\) thì \(A = 5.\)