Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một hình thang với đáy \[AD\] và \[BC\].

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)

b) Gọi \[I\] và \[J\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[SAD\] và \[SBC\]. Mặt phẳng \[\left( {ADJ} \right)\] cắt \[SB,SC\] lần lượt tại \[M,N\]. Mặt phẳng \[\left( {BCI} \right)\] cắt \[SA,SD\] tại \[P,Q\]. Chứng minh \[MN\] song song với \[PQ\].

c) Biết \[AD = a,BC = b\]. Giải sử \[AM\] cắt \[BP\] tại \[E\]; \[CQ\] cắt \[DN\] tại \[F\]. Chứng minh \[EF\] song song với \[MN\] và \[PQ\]. Tính \[EF\] theo \[a,b\].

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)

Gọi .

b) Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAD\) và \(SBC\). Mặt phẳng \(\left( {ADJ} \right)\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(M,N\). Mặt phẳng \(\left( {BCI} \right)\) cắt \(SA,SD\) tại \(P,Q\). Chứng minh \(MN{\rm{//}}PQ\).

Ta có \(I \in \left( {SAD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)\).                                                                            

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {IBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right) = PQ\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow PQ{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) (1)

Tương tự \(J \in \left( {SBC} \right) \Rightarrow J \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {ADJ} \right)\).                                                                           

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {ADJ} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ADJ} \right) = MN\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) (2)

  Từ  và  suy ra \(MN{\rm{//}}PQ\).

c) Biết \(AD = a,BC = b\). Giải sử \(AM\) cắt \(BP\) tại \(E\); \(CQ\) cắt \(DN\) tại \(F\). Chứng minh \(EF\) song song với \(MN\) và \(PQ\). Tính \(EF\) theo \(a,b\).

Ta có \(E = AM \cap BP \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {AMND} \right)\\E \in \left( {PBCQ} \right)\end{array} \right.\); \(F = DN \cap CQ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {AMND} \right)\\F \in \left( {PBCQ} \right)\end{array} \right.\)

Do đó \(EF = \left( {AMND} \right) \cap \left( {PBCQ} \right)\). Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AD{\rm{//}}BC\\MN{\rm{//}}PQ\end{array} \right.\)\( \Rightarrow EF{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC{\rm{//}}MN{\rm{//}}PQ\).

Tính \(EF\): Gọi \(K = CP \cap EF\)\( \Rightarrow EF = EK + KF\)

Ta có \(EK{\rm{//}}BC\) \( \Rightarrow \frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}}\) (1), \(PM{\rm{//}}AB \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{{PM}}{{AB}}\).

Mà \(\frac{{PM}}{{AB}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{2}{3}\).

Từ (1) suy ra \(\frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}} = \frac{{PE}}{{PE + EB}} = \frac{1}{{1 + \frac{{EB}}{{PE}}}} = \frac{2}{5}\)\( \Rightarrow EK = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}b\)

Tương tự \(KF = \frac{2}{5}a\). Vậy \(EF = EK + KF = \frac{2}{5}\left( {a + b} \right)\).