Tìm số nguyên \(n\) biết \(\left( {{n^2} + 2n - 3} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\).

Ta có: \(\left( {{n^2} + 2n - 3} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\)

\(\left( {{n^2} + n + n + 1 - 4} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\)

\(\left[ {n\left( {n + 1} \right) + \left( {n + 1} \right) - 4} \right] \vdots \left( {n + 1} \right)\)       \(\left( * \right)\)

Với mọi số nguyên \(n\) ta có: \(\left( {n + 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\)

Nên \(\left[ {n\left( {n + 1} \right) + \left( {n + 1} \right)} \right] \vdots \left( {n + 1} \right)\)

Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì \(4 \vdots \left( {n + 1} \right)\)

Khi đó \(n + 1\) là ước nguyên của 4.

Mà Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2;4; - 4} \right\}\]

Ta có bảng sau:

 Đối chiếu điều kiện \(n\) là số nguyên, các giá trị ở trên đều thỏa mãn.

Vậy \(n \in \left\{ { - 5; - 3; - 2;0;1;3} \right\}\).