Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +  \ldots  + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}\) và \(B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} +  \ldots  + \frac{1}{{2025}}{\rm{.\;}}\)

Tính tỉ số \(\frac{B}{A}.\)

Hướng dẫn giải

Mỗi bán sẽ nhận được: \(3:4 = \frac{3}{4}\) (cái bánh).

Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

Như vậy mỗi bạn sẽ nhận được \(\frac{1}{2}\) cái bánh và \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Ta có cách chia như sau:

- Lần 1 cắt cả 3 bánh, mỗi bánh chia thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được \(\frac{1}{2}\) cái bánh.

(Người thứ nhất được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ nhất, người thứ hai được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ hai. Người thứ ba được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ ba, người thứ tư được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ nhất)

Còn \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ hai và \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ ba.

- Lần 2 cắt số bánh còn lại, mỗi phần thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Theo cách chia trên thì bánh thứ nhất được chia làm 2 phần, bánh thứ hai và thứ ba được chia làm 3 phần thỏa mãn điều kiện đề bài.

b) Với \(n \ne 3,\) ta có: \(\frac{{2n - 1}}{{3 - n}} = \frac{{2n - 6 + 5}}{{3 - n}} = \frac{{ - 2\left( {3 - n} \right) + 5}}{{3 - n}} = - 2 + \frac{5}{{3 - n}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \(\frac{{2n - 1}}{{3 - n}}\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots 3 - n\)

Hay \(3 - n \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)