Cho \(A = \frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{60}}.\) Chứng minh rằng: \(A > \frac{3}{5}.\)
Cho \(A = \frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{60}}.\) Chứng minh rằng: \(A > \frac{3}{5}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\frac{1}{{31}} > \frac{1}{{40}};\)
\(\frac{1}{{32}} > \frac{1}{{40}};\)
\(\frac{1}{{33}} > \frac{1}{{40}};\)
…
\(\frac{1}{{40}} = \frac{1}{{40}}.\)
Cộng vế theo vế ta được:
\[\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{40}} > \underbrace {\frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ..... + \frac{1}{{40}}}_{10\,\,so\,\,hang} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.\]
Tương tự ta được:
\[\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ..... + \frac{1}{{50}} > \underbrace {\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + ..... + \frac{1}{{50}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{5};\]
\[\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \underbrace {\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + ..... + \frac{1}{{60}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{6}.\]
Suy ra \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}.\)
Mà \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}} > \frac{2}{5}\) nên \(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.\)
Do đó \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{3}{5}.\)
Vậy \(A > \frac{3}{5}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Chỉ với hai lần cưa, người nông dân cần cưa thanh vàng thành ba phần: \(\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{7}\) và \(\frac{4}{7}\).
Và khi đó, người nông dân sẽ trả lương mỗi ngày cho thợ như sau:
Thứ hai: Trả \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.
Thứ ba: Trả \(\frac{2}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.
Thứ tư: Đưa lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng cho người thợ.
Thứ năm: Đưa lại \(\frac{4}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) và \(\frac{2}{7}\) thanh vàng.
Thứ sáu: Đưa \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.
Thứ bảy: Đưa \(\frac{2}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng từ thợ.
Chủ nhật: Trả nội \(\frac{1}{7}\) thanh vàng còn lại.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\frac{{2025}}{1} = 2025 = \underbrace {1 + 1 + 1... + 1}_{2025\,\,so\,\,hang}\]
Khi đó:
\(B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} + \ldots + \frac{1}{{2025}}\)
\( = 1 + \left( {\frac{{2024}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{2013}}{3} + 1} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{2025}} + 1} \right)\)
\( = 1 + \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}}\)
\( = \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}} + \frac{{2026}}{{2026}}\)
\(B = 2026 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}} \right) = 2026A\)
Ta có \(\frac{B}{A} = \frac{{2026A}}{A} = 2026.\)
Vậy \(\frac{B}{A} = 2026.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập