Cho \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}}\,\,\,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right).\)

a) Tìm \(n\) để \(A\) là một phân số.

b) Tìm \(n\) để \(A\) là một số nguyên.

c) Tìm số tự nhiên \(n\) để \(A\) có giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}\) và \(B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} + \ldots + \frac{1}{{2025}}{\rm{.\;}}\)

Tính tỉ số \(\frac{B}{A}.\)

Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 4 giờ, người thứ hai phải mất 7 giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước. Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy vào được \(\frac{1}{3}\) bể, vòi thứ hai chảy vào được \(\frac{2}{5}\) bể. Hỏi vòi nào chảy nhanh hơn và trong một giờ, cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

Tìm các giá trị nguyên của \(n\) để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

Cho \(n\) đường thẳng đôi một phân biệt, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm.

a) Cho \(n = 10\), tìm số giao điểm của các đường thẳng đó.

b) Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2024 được không? Vì sao?

Chứng minh các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên \(n:\)

a) \[\frac{{n + 1}}{{2n + 3}}.\]      b) \(\frac{{3n - 2}}{{4n - 3}}.\)