Tìm các số tự nhiên \(x,\,\,y\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\frac{1}{x} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}.\)     

b) \(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{y}{3}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{{2y}}{6}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{{5 - 2y}}{6}\)

Suy ra \(x \cdot \left( {5 - 2y} \right) = 6 \cdot 1 = 6\)

Vì \(x,y\) là số tự nhiên nên \(x \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

 Từ bảng trên ta tìm được cặp \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {2;1} \right),\left( {6;2} \right)} \right\}.\)

b) Ta có: \(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}\)

 \[\frac{{20x}}{{60}} - \frac{{15y}}{{60}} = \frac{{12}}{{60}}\]

Suy ra \[20x - 15y = 12\]

\[20x - 12 = 15y\]

\[4\left( {5x - 3} \right) = 15y\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Với \(x,\,\,y \in \mathbb{N}\) ta suy ra \[15y\, \vdots \,4\]

Mà ƯCLN\(\left( {15,4} \right) = 1\) nên \[y\,\, \vdots \,\,4\]

Do đó \[y = 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{N},\,\,k \ne 0} \right)\]

Thay \[y = 4k\] vào (1) ta được: \[4\left( {5x - 3} \right) = 60k\]

Suy ra \[5x - 3 = 15k\] nên \[5x = 15k + 3\]

Mà \[5x\, \vdots \,5\] nên \[\left( {15k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,5\] (điều này là vô lí)

Vậy không tồn tại các số tự nhiên \(x,\,y\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}.\)