Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \[B\] và \[E\] ở hai bên bờ sông, bác Minh chọn ba vị trí \[A,{\rm{ }}F,{\rm{ }}C\] cùng nằm ở bên bờ sông sao cho ba điểm \[C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}B\]thẳng hàng; ba điểm \[C,{\rm{ }}F,{\rm{ }}A\] thẳng hàng và \[AB{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,EF.\] Sau đó bác Minh đo được \[AF = 50{\rm{ \;m}},\] \[FC = 35{\rm{\;m}}\] và \[EC = 42{\rm{\;m}}.\] Tính khoảng cách giữa hai vị trí \[B\] và \[E.\]

Cho \(\Delta ABC\) trung tuyến \(AD.\) Vẽ tia phân giác của \[\widehat {ADB}\] cắt \(AB\) tại \(M,\) tia phân giác của \[\widehat {ADC}\] cắt \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng:

a) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.\] 

b) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\]     

c) \(MN\,{\rm{//}}\,BC.\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(D.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua điểm \(M\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AD\) cắt các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt tại \(E\) và \(K.\) Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(AEK\) cân. 

b) \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.\)   

c) \(BK = EC.\)

Tìm độ dài \[x,{\rm{ }}y\] trong mỗi trường hợp sau:

Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là trung tuyến, trọng tâm \(G,\) đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(E,\,\,F.\) Từ \(B,\,\,C\) kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.\)  

b) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\)  

c) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.\)

Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) \(E\) là giao điểm của \(MA\) và \(BD,\) \(F\) là giao điểm của \(MB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

b) Đường thẳng \(EF\) cắt \(AD,\,\,BC\) lần lượt tại \(H\) và \(N.\) Chứng minh \(HE = EF = FN.\)

c) Biết \(AB = 7,5{\rm{\;cm}},\,\,CD = 12{\rm{\;cm}}.\) Tính độ dài \(HN.\)

Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm \[A\] đến trường (tại điểm \(B)\) phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm \[C\] (như hình vẽ).

Điểm \(H\) là một điểm thuộc đoạn thẳng \[AB\] sao cho \[CH\] đường là phân giác \(\widehat {ACB},\) \[AH = 0,32{\rm{\;km}}\] và \[BH = 0,4{\rm{\;km}}.\] Biết bạn Hải đi xe đạp đến \[C\] lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là 10 km/h?