Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia môn bóng đá và 10 học sinh tham gia môn bóng chuyền, trong đó có 6 học sinh tham gia cả hai môn bóng đá và bóng chuyền. Thầy giáo chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp học để làm nhiệm vụ đặc biệt. Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được một học sinh tham gia môn bóng đá”, \(B\) là biến cố “Chọn được một học sinh tham gia môn bóng chuyền”.

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”; \(B\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 25 có 4 số chia hết cho 6. Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{4}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{21}}{{25}}\).

Từ 1 đến 25 có 5 số chia hết cho 5. Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{4}{5}\).

Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ n.

Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là

\({P_n} = {\left( {\frac{{21}}{{25}}} \right)^n} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n}\).

Do đó xác suất để Bình thắng là:

\(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{84}}{{125}} + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n} + ...\)\( = \frac{1}{4}\left[ {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right) + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^n} + ...} \right]\).

Vì \(\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right),{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2},...,{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n},...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(\frac{{84}}{{125}}\) công bội là \(\frac{{84}}{{125}}\) nên \(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\frac{{84}}{{125}}}}{{1 - \frac{{84}}{{125}}}} = \frac{{21}}{{41}}\).

Suy ra \(a = 21;b = 41 \Rightarrow a + b = 62\).

Trả lời: 62.

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy gói quà màu đỏ từ hộp I”;

\(B\) là biến cố “Lấy gói quà màu đỏ từ hộp II”.

\(C\) là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Theo đề ta có \(A,B,C\) là các biến cố độc lập và \(P\left( A \right) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}\); \(P\left( C \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = \frac{5}{6}\).

Gọi \(D\) là biến cố “Lấy được gói quà màu đỏ” \( \Rightarrow D = AC \cup B\overline C \).

Vậy \(P\left( D \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {B\overline C } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( C \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {\overline C } \right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7}{{30}} \approx 0,23\).

Trả lời: 0,23.