Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = 5\). Khi đó \(f'\left( { - 1} \right)\) bằng    

a) Điều kiện: \(\frac{{2024x}}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\frac{{2024x}}{{x + 1}}}} \cdot {\left( {\frac{{2024x}}{{x + 1}}} \right)^\prime }\)\( = \frac{{x + 1}}{{2024x}} \cdot \frac{{2024}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

d) \(f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2024} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}} = 1 - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;     c) Đúng;    d) Sai.

Vì \(M \in \left( C \right)\) nên \(M\left( {3; - 5} \right)\).

Ta có \(y' = - 6{x^2} + 12x\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\) là \(y'\left( 3 \right) = - 18\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là \(y = - 18\left( {x - 3} \right) - 5 = - 18x + 49\). Chọn C.