Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông \(ABCD,\,\,B(3;0;8),\,\,D( - 5; - 4;0)\). Biết đỉnh \(A\) thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó \(|\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} |\) bằng:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

- Tham số hóa điểm A

- Sử dụng điều kiện ABCD là hình vuông để tìm A.

- Tính \(|\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} |\)

Lời giải

Ta có trung điểm BD là \(I( - 1; - 2;4),BD = 12\) và điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) nên \(A(a;b;0)\).

ABCD là hình vuông \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = A{D^2}}\\{A{I^2} = {{\left( {\frac{1}{2}BD} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a - 3)}^2} + {b^2} + {8^2} = {{(a + 5)}^2} + {{(b + 4)}^2}}\\{{{(a + 1)}^2} + {{(b + 2)}^2} + {4^2} = 36}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 4 - 2a}\\{{{(a + 1)}^2} + {{(6 - 2a)}^2} = 20}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{17}}{5}}\\{b = \frac{{ - 14}}{5}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{A}}(1;2;0)}\\{A\left( {\frac{{17}}{5};\frac{{ - 14}}{5};0} \right)\,\,({\rm{Loai}})}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow A(1;2;0) \Rightarrow C( - 3; - 6;8) \Rightarrow \overrightarrow {CA} = (4;8; - 8);\overrightarrow {CB} = (6;6;0)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = (10;14; - 8) \Rightarrow |\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} | = 6\sqrt {10} \)