Trong mặt phẳng Oxy, điểm \(M\) nằm trên đường tròn \({(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4\) sao cho độ dài đoạn thẳng OM là ngắn nhất. Hoành độ điểm \(M\) là:

  

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn.

Viết phương trình đường thẳng OI.

OM ngắn nhất khi \(OM = |OI - R|\) với \(M\) là giao điểm của OI và đường tròn.

Lời giải

Đường tròn \({(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4\) có tâm \(I( - 3;4)\) và bán kính \(R = 2\).

Phương trình đường thẳng OI đi qua \(O(0;0)\) và nhận \(\overrightarrow {OI} = ( - 3;4)\) làm VTCP là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3t}\\{y = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\).

Ta có: \(OM \le |OI - R| = 3\)

Để OM ngắn nhất \( \Leftrightarrow OM = 3\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow M\left( { - \frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\).