Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Công an môn Toán (có đáp án) - Đề 1

Lời giải

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 8{x^3}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 8{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Có \(y\left( 0 \right) = 1\).

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Chọn B.

Lời giải

Ta có VTCP của  \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là  \(\overrightarrow {{a_1}}  = \left( {2; - 3;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{a_2}}  = \left( {1; - 2;\, - 4} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{a_1}}  \cdot \overrightarrow {{a_2}}  = 0\).

Vậy góc giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(90^\circ \). Chọn B.

Lời giải

Kí hiệu \({a_n}\) là số khối gỗ tại hàng thứ \(n\). Ta đánh dấu hàng dưới cùng là hàng đầu tiên.

Ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1} = 15}\\{{a_n} = {a_{n - 1}} - 2 = {a_{n - 1}} + \left( { - 2} \right)}\end{array}} \right.\,\,\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 2} \right)\).

Suy ra \({a_8} = {a_1} + 7 \cdot \left( { - 2} \right) = 15 - 14 = 1\).

Vậy hàng trên cùng có 1 khối gỗ. Chọn D.

Lời giải

\(\int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{4{{\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)}^2}}}} } \,{\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{4{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}} \,{\rm{d}}x =  - \frac{1}{4}\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + C\). Chọn A.

Lời giải

Ta có \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\], \(x = 2\) là nghiệm kép nên khi qua giá trị \(x = 2\) thì \(f'\left( x \right)\) không bị đổi dấu.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 10x + m + 9} \right)\) khi đó \(g'\left( x \right) = f'\left( u \right) \cdot \left( {2x - 10} \right)\) với \(u = {x^2} - 10x + m + 9\).

Nên \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 10 = 0\\{\left( {{x^2} - 10x + m + 9 - 2} \right)^2} = 0\\{x^2} - 10x + m + 9 = 1\\{x^2} - 10x + m + 9 = 3\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\{\left( {{x^2} - 10x + m + 9 - 2} \right)^2} = 0\\{x^2} - 10x + m + 8 = 0\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 10x + m + 6 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\].

Hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 10x + m + 9} \right)\) có \(5\) điểm cực trị khi và chỉ khi \(g'\left( x \right)\) đổi dấu \(5\) lần hay phương trình \(\left( 1 \right)\) và phương trình \(\left( 2 \right)\) mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt khác \(5\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\Delta '}_1} > 0\\{{\Delta '}_2} > 0\\h\left( 5 \right) \ne 0\\p\left( 5 \right) \ne 0\end{array} \right.\] (với \(h\left( x \right) = {x^2} - 10x + m + 8\) và \(p\left( x \right) = {x^2} - 10x + m + 6\)) \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}17 - m > 0\\19 - m > 0\\ - 17 + m \ne 0\\ - 19 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 17\].

Vậy có \(16\) giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn. Chọn B.

Lời giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm.

Vì \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và song song với \(CD\) nên \(\left( P \right)\) nhận hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2;1} \right)\),\(\overrightarrow {CD}  = \left( {1;0;0} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương suy ra \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0; - 1;2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(0\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(y - 2z + 2 = 0\). Chọn A.

Lời giải

Theo đề bài ta có \(300 = 100 \cdot {e^{5r}} \Rightarrow {e^{5r}} = 3\).

Khi đó số lượng vi khuẩn tăng gấp \(10\) lần so với số lượng ban đầu thì

\(10A = A{e^{rt}} \Leftrightarrow {\left( {{e^{5r}}} \right)^{\frac{t}{5}}} = 10 \Leftrightarrow {3^{\frac{t}{5}}} = 10 \Leftrightarrow t = 5{\log _3}10 = \frac{5}{{\log 3}}\) phút. Chọn D.

Lời giải

Gọi \[A\] là biến cố: “Lấy ra từ hộp thứ nhất chiếc bút đỏ”, ta có \[P\left( A \right) = \frac{4}{9}\].

\[B\]là biến cố: “Lấy ra từ hộp thứ hai quyển vở bìa vàng”, ta có \[P\left( B \right) = \frac{8}{{13}}\].

Suy ra \[AB\] là biến cố: “Lấy được chiếc bút đỏ và quyển vở bìa vàng”.

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{4}{9} \cdot \frac{8}{{13}} = \frac{{32}}{{117}}\]. Chọn C.