Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Công an môn Toán (có đáp án) - Đề số 5

Giả sử một quả bóng được ném lên từ mặt đất rồi rơi xuống theo quỹ đạo là một đường parabol. Biết rằng quả bóng được ném lên từ độ cao ban đầu là \(1\;\,{\rm{m}}\), sau 1 giây nó đạt độ cao \(10\;{\rm{m}}\) và sau 3,5 giây nó ở độ cao \(6,25{\rm{\;m}}\). Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được là

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)\) với \(x > 0\) là

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x + y + 2z - 3 = 0\) là

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(M\) là trung điểm của \(BC\), khoảng cách \(h\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Góc giữa đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng

Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1\) đạt cực trị tại \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 6\).

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}}\) (1), \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng \(45^\circ \).

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 7t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Đi được 5s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a =  - 70{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right).\) Tính quãng đường S đi được của ô tô lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

Hiệu điện thế đi qua tụ điện có điện dung \(C = 8,5\,\,{\rm{nF}}\) đặt trong mạch thu sóng FM gần bằng 0. Nếu có cường độ dòng điện \(i = 0,042t\,\,\left( {{\rm{mA}}} \right)\) nạp vào tụ. Tìm hiệu điện thế sau \(2{\rm{\mu s}}\), biết rằng hiệu điện thế tại thời điểm t được tính theo công thức \(U\left( t \right) = \frac{{q\left( t \right)}}{C}\) với \(q\left( t \right)\) là điện lượng qua tiết diện dây dẫn trong thời gian t.

Tìm \(m\) để bất phương trình \[m \cdot {9^x} - \left( {2m + 1} \right){6^x} + m \cdot {4^x} \le 0\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {0;1} \right)\].

Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng \(10\) ngày và phải sử dụng hai máy \(A\)và \(B\). Máy \(A\) làm việc trong \(x\) ngày và cho số tiền lãi là \({x^2} + 2x\) (triệu đồng), máy \(B\) làm việc trong \(y\) ngày và cho số tiền lãi là \(326y - 27{y^2}\) (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy \(A\) trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy \(A\) và \(B\) không đồng thời làm việc, máy \(B\) làm việc không quá \(6\) ngày).

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \({d_1}\):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + at}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \({d_2}\):\(3x + 4y + 12 = 0\). Xác định giá trị của \(a\) để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng \(45^\circ \).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho tam giác nhọn \(ABC\). Đường tròn đường kính \(BC\) là \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{5}{3}\). Từ \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) đến \(\left( C \right)\) (\(M,N\) là các tiếp điểm và nằm cùng một phía đối với  đường thẳng \(BC\)). Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  thuộc đường thẳng \(MN\)  và \(A\) thuộc đường thẳng \(d:2x + y - 1 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh \(A\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {0; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2; - 3;0} \right)\), \(C\left( { - 2;1;1} \right)\), \(D\left( {0; - 1;3} \right)\).  Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC}  \cdot \overrightarrow {MD}  = 1\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính \(r\) bằng bao nhiêu?

Người ta dự định xây dựng 1 tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 12,28 m2. Hãy giúp nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà. Để cho đồng bộ các nhà chùa yêu cầu nền nhà phải lót gạch hoa cỡ 30 × 30 cm.

Cho hình \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \(y = x + 1\); \(y = \frac{6}{x}\); \(x = 1\). Quay hình \[\left( H \right)\] quanh trục \[Ox\] ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B\], \[AB = 3a\]. Biết \[SA \bot AB\], \[SB = SC\] và khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SB,AC\] bằng \[2a\]. Tính theo \[a\] thể tích khối chóp \[S.ABC\]ta được kết quả là

Bạn Lan muốn đến thành phố A để du lịch nên bạn muốn chọn ngày có ít ánh sáng mặt trời nhất để tham quan cho mát mẻ. Biết số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Ngày phù hợp nhất cho Lan đến thành phố A là ngày thứ mấy trong năm?

Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có đáy bằng \[2a\], \[SA\] tạo với đáy một góc \(30^\circ \). Tính theo\[a\] khoảng cách \[d\] giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[CD\].

Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\sqrt {\log a}  + \sqrt {\log b}  + \log \sqrt a  + \log \sqrt b  = 100\) và \(\sqrt {\log a} \), \(\sqrt {\log b} \), \(\log \sqrt a \), \(\log \sqrt b \) đều là các số nguyên dương. Tính \(P = ab\).

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\), thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\{g\left( x \right) =  - xf'\left( x \right)}\\{f\left( x \right) =  - xg'\left( x \right)}\end{array}} \right.\) với mọi \(x \in \left[ {1;4} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \).

Một sinh viên đi trên đường thẳng thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) từ vị trí E đến gần và quan sát quả địa cầu 3D này; các điểm giao giữa con đường này với quả địa cầu là A và B. Sinh viên cần tính toán khoảng cách A, B lớn nhất để họ quan sát quả địa cầu được lâu hơn và nhiều góc độ hơn. Nếu sinh viên đó đi với vận tốc 1,5 m/s thì thời gian lâu nhất sinh viên đó thuộc vùng mặt cầu bằng bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một hộp chứa \(5\) viên bi đỏ, \(6\) viên bi xanh và \(7\) viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên \(6\) viên bi từ hộp, tính xác suất để chọn được \(6\) viên bi có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm \(9\) chiếc bề ngoài giống hệt nhau trong đó chỉ có hai chiếc mở được cửa kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không đúng thì bỏ ra khỏi chùm chìa khóa). Tìm xác suất để lần thứ ba thì anh ta mới mở được cửa (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hình chiếu của tâm mặt quả địa cầu trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là